Función de transferencia de procesos muestreados

Transformada z El muestreador ideal está definido como un muestreador que abre y cierra de manera instantánea, en tiempo cero cada T segundos. En donde la señal de pulsos unitarios que representa la acción del muestreador es sustituida por un tren de impulsos unitarios que modela mejor el comportamiento del muestreador.

Transformada z Dicho tren de impulsos se define como La salida del muestreador ideal es comenzando el muestreo en t=0.

Transformada z La transformada de Laplace de la señal muestreada es Las gráficas muestran las señales de entrada y salida de un muestreador ideal.

Transformada z La transformada de Laplace no es una función de transferencia racional de ‘s’. Cuando aparecen términos de la forma que no son únicamente factores multiplicativos, es probable que surjan dificultades al tratar de determinar la transformada inversa de Laplace. Por lo tanto, es deseable transformar la función irracional F*(s) en una racional F(z).

Transformada z Para poder llevar acabo esta representación, se transforma la variable compleja ‘s’ en otra que denominaremos variable compleja ‘z’. Una selección obvia para esta transformación es

Transformada z En donde F(z) se conoce como la transformada z de f*(t)

Transformada z A continuación se muestra la relación de los planos s y z.

Transformada z Todos los puntos que están en el semi-plano izquierdo del plano s corresponden a puntos dentro del circulo unitario del plano z. Todos los puntos en el semi-plano derecho del plano s corresponden a puntos fuera del circulo unitario del plano z. Todos los puntos sobre el eje imaginario del plano s, corresponden a puntos sobre el circulo unitario |z|=1 del plano z.

Transformada z Transformada z de una función escalón

Transformada z Transformada z de una función exponencial

Transformada z Propiedades de la transformada z Linealidad

Transformada z Propiedades de la transformada z Corrimiento a la derecha (retraso en el tiempo de n periodos de muestreo) Se observa que la variable (1/z) corresponde a un retraso de un periodo de muestreo en el dominio del tiempo; por lo tanto (1/z) se considera como un operador de retraso en los sistemas de control digital.

Transformada z Propiedades de la transformada z Corrimiento a la izquierda (adelanto en el tiempo de n periodos de muestreo)

Transformada z Ejemplo: Función escalón atrasada un periodo Función escalón adelantada un periodo

Transformada z Propiedades de la transformada z Traslación compleja

Transformada z Ejemplo: Obtener la transformada z de De las tablas de transformadas se obtiene la transformada z de f(t)

Transformada z Usando la propiedad de la traslación compleja

Transformada z Propiedades de la transformada z Valor inicial Si la transformada en z de f(t) es F(z) y existe el límite de F(z) cuando z tiende a infinito, entonces

Transformada z Propiedades de la transformada z Valor final Si la transformada en z de f(t) es F(z) y existe el límite de F(kT) cuando k tiende a infinito, entonces

Transformada z Ejemplo: Encontrar la transformada z, el valor inicial y el valor final de la siguiente función del tiempo

Transformada z Su transformada z:

Transformada z Su valor inicial: Su valor final:

Transformada z Propiedades de la transformada z Convolución

Cálculo algebraico de la transformada z En el análisis de sistemas lineales es común que la función de transferencia F(s) ya esté dada, y lo que tenga que determinarse sea la transformada z, F(z). Por lo que a continuación se presenta un desarrollo para obtener F(z) directamente de F(s) sin pasar por f(t).

Transformada z La transformada z se obtiene de la siguiente ecuación Polo simple:

Transformada z Polo múltiple:

Transformada z Ejemplo: Presenta dos polos simples

Transformada z

Transformada z Ejemplo: Polo de multiplicidad 2

Transformada z inversa Transformada en z inversa Potencias crecientes de División directa Fracciones parciales Método de la formula de inversión

Transformada z inversa Potencias crecientes de De la definición de transformada z En general tenemos que

Transformada z inversa Igualando términos tenemos:

Transformada z inversa Igualando los coeficientes de las potencias crecientes de De los resultados anteriores se deduce que

Transformada z inversa Ejemplo: aplicando la formula:

Transformada z inversa División directa Se realiza directamente la división y se encuentra una serie de potencias de cuyos coeficientes corresponden a f(kT).

Transformada z inversa Ejemplo:

Transformada z inversa Fracciones parciales Usualmente se expande F(z)/z Cuando F(z) tiene polos diferentes

Transformada z inversa Ejemplo:

Transformada z inversa

Transformada z inversa Cuando F(z) tiene polos repetidos

Transformada z inversa Aislando A3

Transformada z inversa Aislando A2

Transformada z inversa Método de la formula de inversión De la teoría de variable compleja: Esta es una integral de contorno sobre una trayectoria cerrada C que encierra el origen y todos los polos de F(z).

Transformada z inversa donde pi son los polos de Polo simple Polo múltiple

Transformada z inversa Ejemplo:

Transformada z inversa Ejemplo: un polo simple en un polo en Para el polo simple

Transformada z inversa Para el polo múltiple

Transformada z modificada La transformada z modificada Los comportamientos entre los puntos de muestreo pueden ser investigados usando la transformada z modificada. Esta es la transformada z ordinaria, solamente retrasada mT segundos, lo cual es una fracción del periodo de muestreo, ya que 0 < m < 1

Transformada z modificada La transformada z modificada aplicando la propiedad de corrimiento

Transformada z modificada Obtener la transformada z modificada de

Transformada z modificada Transformada z modificada inversa La mayor ventaja de la transformada z modificada es que proporciona información sobre una función del tiempo entre los instantes de muestreo. La transformada inversa de F(z,m) da los valores de f(t) entre los instantes de muestreo para cierto valor de m.

Transformada z modificada La función F(z,m) se puede desarrollar en una serie de potencias en mediante la división directa Retomando el ejemplo anterior, el desarrollo de F(z,m) es el siguiente El coeficiente del termino en la serie infinita representa el valor de f(t) entre los

Transformada z modificada instantes de muestreo t=(k-1)T y t=kT, donde k=1,2,... y 0<m<1. Durante el primer periodo de muestreo, la función f(t) está descrita por el coeficiente . Cuando m=0 se obtiene el valor de f(0); cuando m=1 se obtiene el valor de f(T). De manera similar, para el k-ésimo periodo de muestreo, k=1,2,...,

Transformada z modificada En general, la respuesta entre dos instantes de muestreos consecutivos se obtiene asignando valores a m entre 0 y 1

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