Profra. Sandra L. García Garza Tema 13: Semejanza y Teorema de Pitágoras Profra. Sandra L. García Garza

Semejanza y Teorema de Pitágoras Tema 13: Semejanza y Teorema de Pitágoras Tales de Mileto (c. 625-c. 546 a.C.), filósofo griego nacido en Mileto (Asia Menor), fue el fundador de la filosofía griega, y está considerado como uno de los Siete Sabios de Grecia. Tales llegó a ser famoso por sus conocimientos de astronomía después de predecir el eclipse de sol que ocurrió el 28 de mayo del 585 A.C. Se dice también que introdujo la geometría en Grecia. Según Tales, el principio original de todas las cosas es el agua, de la que todo procede y a la que todo vuelve otra vez.

Semejanza y Teorema de Pitágoras Tema 13: Semejanza y Teorema de Pitágoras Tales fue el primero en demostrar sus afirmaciones, por lo que se le considera el primer matemático de la historia. A Tales debemos proposiciones como: Todo diámetro bisecta al círculo. Los ángulos de la base de un triángulo isósceles son iguales.

Semejanza y Teorema de Pitágoras Tema 13: Semejanza y Teorema de Pitágoras El ángulo inscrito en un semicírculo es recto. Los lados correspondientes a ángulos iguales en triángulos semejantes son proporcionales.

Semejanza y Teorema de Pitágoras Tema 13: Semejanza y Teorema de Pitágoras A Tales se le reconoce también por un teorema que lleva su nombre, y es muy útil en temas de semejanza. Lo encontramos enunciado de las siguientes maneras:

Semejanza y Teorema de Pitágoras Tema 13: Semejanza y Teorema de Pitágoras * Si varias paralelas determinan segmentos congruentes sobre una transversal, entonces también determinarán segmentos congruentes sobre cualquier otra transversal que las corte.

Semejanza y Teorema de Pitágoras Tema 13: Semejanza y Teorema de Pitágoras A A' Entonces: B B' AB BC CD = ~ = ~ C C' y D D' A'B' B'C' C'D' = ~ = ~ Continuar…

Semejanza y Teorema de Pitágoras Tema 13: Semejanza y Teorema de Pitágoras ** Si varias paralelas cortan a 2 transversales, determinan sobre ellas segmentos proporcionales.

Semejanza y Teorema de Pitágoras Tema 13: Semejanza y Teorema de Pitágoras Esto significa que: A B C D AB DE E = BC EF F Continuar…

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Semejanza y Teorema de Pitágoras Tema 13: Semejanza y Teorema de Pitágoras “Toda paralela a un lado de un triángulo, divide a los otros dos lados en segmentos proporcionales”

El teorema anterior tiene su recíproco: Tema 13: Semejanza y Teorema de Pitágoras El teorema anterior tiene su recíproco: “Si una recta al cortar a dos lados de un triángulo, los divide en segmentos proporcionales, dicha recta es paralela al tercer lado”

Semejanza y Teorema de Pitágoras Tema 13: Semejanza y Teorema de Pitágoras Si: MA OB M = AN BN A Entonces: AB OM O N B

Semejanza y Teorema de Pitágoras Tema 13: Semejanza y Teorema de Pitágoras Las aplicaciones del Teorema de Tales son variadas, como por ejemplo el trazo de figuras semejantes, el cálculo de distancias inaccesibles; trazado de mapas, medición de ríos, lagos y montañas, etc.

Semejanza y Teorema de Pitágoras Tema 13: Semejanza y Teorema de Pitágoras Un ejemplo del cálculo de distancias inaccesibles puede ser el que usó Tales aplicando su teorema para encontrar indirectamente la altura de una pirámide egipcia, basándose en la longitud de la sombra de su bastón:

Semejanza y Teorema de Pitágoras Tema 13: Semejanza y Teorema de Pitágoras h 1.80 m 2.40 m 198.6 m Aplicando las proporciones tendríamos que: h 1.80 m Entonces: = 198.6 m 2.40 m Continuar…

Semejanza y Teorema de Pitágoras Tema 13: Semejanza y Teorema de Pitágoras h 1.80 m 2.40 m 198.6 m h 198.6 x 1.80 148.95 m = = 2.40 m La altura de la pirámide es de: 148.95 m. Continuar…

Semejanza y Teorema de Pitágoras Tema 13: Semejanza y Teorema de Pitágoras También, un trazo interesante sería: dividir un segmento en n partes iguales, por ejemplo: * Dividir un segmento de 8 cm en 6 partes iguales. Continuar…

Semejanza y Teorema de Pitágoras Tema 13: Semejanza y Teorema de Pitágoras a) Traza un segmento de 8 cm y una línea auxiliar sin importar la medida formando un ángulo mayor de 0° y menor de 180°. A B 8 cm Continuar…

Semejanza y Teorema de Pitágoras Tema 13: Semejanza y Teorema de Pitágoras b) Divide la línea auxiliar en el número de partes iguales deseado (en este caso 6). 6 A B 8 cm 5 4 3 2 1 Continuar…

Semejanza y Teorema de Pitágoras Tema 13: Semejanza y Teorema de Pitágoras c) Une la última marca con el extremo B del segmento. 6 A B 8 cm 5 4 3 2 1 Continuar…

Semejanza y Teorema de Pitágoras Tema 13: Semejanza y Teorema de Pitágoras d) Ahora traza paralelas al segmento que une la última marca con B. e) El segmento ha quedado dividido en 6 partes iguales. A B 8 cm 1 2 3 4 5 6 Continuar…

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Semejanza y Teorema de Pitágoras Tema 13: Semejanza y Teorema de Pitágoras Un segmento x se llama cuarta proporcional de otros tres segmentos a, b y c, si se cumple lo siguiente: a c = b x La construcción geométrica de la cuarta proporcional, está basada en el Teorema de Tales.

Semejanza y Teorema de Pitágoras Tema 13: Semejanza y Teorema de Pitágoras Ejemplo: Calcula la cuarta proporcional de: a = 3.5, b = 4, c = 2.1 3.5 2.1 c = 2.1 = 4 x a = 3.5 4 x 2.1 2.4 x b = 4 x = = 3.5 Continuar…

Tema 13: Semejanza y Teorema de Pitágoras Un segmento x se llama media proporcional de otros dos segmentos a y b, si se cumple lo siguiente: a x = x b Veamos como se construye geométricamente: Continuar…

Semejanza y Teorema de Pitágoras Tema 13: Semejanza y Teorema de Pitágoras *Dados los segmentos a y b, construir el segmento x de tal forma que sea media proporcional: a b a) Coloca los segmentos uno a continuación del otro b a Continuar…

Semejanza y Teorema de Pitágoras Tema 13: Semejanza y Teorema de Pitágoras b) Dibuja un semicírculo que tenga por diámetro el segmento formado. b a Continuar…

Semejanza y Teorema de Pitágoras Tema 13: Semejanza y Teorema de Pitágoras c) Traza una perpendicular en la unión de los segmentos hasta que toque el semicírculo. d) Llama x al nuevo segmento. x b a e) El segmento x es la media proporcional buscada.

Semejanza y Teorema de Pitágoras Tema 13: Semejanza y Teorema de Pitágoras *Podemos utilizar el Teorema de Tales para comprobar que efectivamente el segmento X es la media proporcional: Completemos la figura anterior, formando triángulos semejantes: x Ð 1 Ð 2 b a Continuar…

Semejanza y Teorema de Pitágoras Tema 13: Semejanza y Teorema de Pitágoras Si superponemos los dos triángulos obtendremos el conocido esquema utilizado en el Teorema de Tales, lo que justifica la proporción: a x = x b a b x 1 Ð 2 x b 1 2 Ð Ð = x a

Semejanza y Teorema de Pitágoras Tema 13: Semejanza y Teorema de Pitágoras Ahora que conoces algunas de las aplicaciones del Teorema de Tales puedes utilizarlo en la resolución de algunos problemas de la vida cotidiana o los que propongan en tu salón de clase.

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