Introducción al Teorema de Gödel Eduardo Alejandro Barrio UBA - CONICET 2do Cuatrimestre de 2009 Eduardo Alejandro Barrio UBA - CONICET 2do Cuatrimestre de 2009

Introducción al Teorema de Gödel El primer teorema de Gödel muestra que la idea según la cual podemos axiomatizar completamente la aritmética (la totalidad de las verdades acerca de la secuencia de números naturales) es equivocada: Sea G PA : Esta oración no tiene una prueba en PA. Si PA es una teoría consistente, ni G PA ni G PA es un teorema de PA. Sin embargo, si PA es consistente, G PA debe ser verdadera. El segundo teorema de Gödel muestra que la consistencia no puede probarse dentro de PA. El primer teorema Con PA G PA tiene un número de Gödel. Pero, Si PA es consistente, G PA no tiene prueba. Si PA es consistente, Pa no puede demostrar Con PA El primer teorema de Gödel muestra que la idea según la cual podemos axiomatizar completamente la aritmética (la totalidad de las verdades acerca de la secuencia de números naturales) es equivocada: Sea G PA : Esta oración no tiene una prueba en PA. Si PA es una teoría consistente, ni G PA ni G PA es un teorema de PA. Sin embargo, si PA es consistente, G PA debe ser verdadera. El segundo teorema de Gödel muestra que la consistencia no puede probarse dentro de PA. El primer teorema Con PA G PA tiene un número de Gödel. Pero, Si PA es consistente, G PA no tiene prueba. Si PA es consistente, Pa no puede demostrar Con PA

Introducción al Teorema de Gödel Nociones fundamentales de la aritmética: -1 es un número natural -Sucesor -Suma -Multiplicación -La secuencia de números naturales continua sin fin, no hay círculos, la suma es conmutativa, etc. La Aritmética formulada en un lenguaje de primer orden y (y S0) m (1 < m) Interpretación pretendida Las operaciones aritméticas están completamente determinadas. ¿Cómo fijar el valor de verdad de cualquier proposición matemática? Los humanos necesitamos demostraciones sintácticas: probar esas verdades como teoremas. Nociones fundamentales de la aritmética: -1 es un número natural -Sucesor -Suma -Multiplicación -La secuencia de números naturales continua sin fin, no hay círculos, la suma es conmutativa, etc. La Aritmética formulada en un lenguaje de primer orden y (y S0) m (1 < m) Interpretación pretendida Las operaciones aritméticas están completamente determinadas. ¿Cómo fijar el valor de verdad de cualquier proposición matemática? Los humanos necesitamos demostraciones sintácticas: probar esas verdades como teoremas.

Teorías formales axiomatizadas Presentación informal de la axiomatización de la aritmética: PA: Teoría aritmética de primer orden 1) Cero es un número natural. 2) El sucesor inmediato de un número natural es un número natural 3) Cero no es el sucesor inmediato de un número natural 4) No hay dos números naturales que tengan el mismo sucesor inmediato. 5) Si una propiedad se aplica a cero y dado cualquier número, si se aplica a él también se aplica a su sucesor inmediato, entonces esa propiedad se aplica a todos los números naturales. Presentación informal de la axiomatización de la aritmética: PA: Teoría aritmética de primer orden 1) Cero es un número natural. 2) El sucesor inmediato de un número natural es un número natural 3) Cero no es el sucesor inmediato de un número natural 4) No hay dos números naturales que tengan el mismo sucesor inmediato. 5) Si una propiedad se aplica a cero y dado cualquier número, si se aplica a él también se aplica a su sucesor inmediato, entonces esa propiedad se aplica a todos los números naturales.

Teorías formales axiomatizadas -Lenguaje formalizado: expresiones lógicas y expresiones no- lógicas. -En el caso de la aritmética, 0, sucesor de un número natural, número natural, z es la suma de x e y, etc. -Axiomas específicos para las expresiones no lógicas. -Aparato deductivo: lógica de primer orden con identidad. -La propiedad de ser una prueba bien formada desde las premisas, x, e y hasta la conclusión z en la teoría T tiene que ser efectivamente decidible. -No es decidible en genaral en FOL si una derivación de z desde x e y existe. Lo que debe ser decidible es si una secuencia de fórmulas que se nos presenta como una prueba es realmente una prueba. -Lenguaje formalizado: expresiones lógicas y expresiones no- lógicas. -En el caso de la aritmética, 0, sucesor de un número natural, número natural, z es la suma de x e y, etc. -Axiomas específicos para las expresiones no lógicas. -Aparato deductivo: lógica de primer orden con identidad. -La propiedad de ser una prueba bien formada desde las premisas, x, e y hasta la conclusión z en la teoría T tiene que ser efectivamente decidible. -No es decidible en genaral en FOL si una derivación de z desde x e y existe. Lo que debe ser decidible es si una secuencia de fórmulas que se nos presenta como una prueba es realmente una prueba.

Expresabilidad dentro de L -Expresar una propiedad numérica: (obtener la extensión correcta) - Una propiedad P es expresada por una fórmula abierta (x) en un lenguaje aritmético L sss para todo número n, - Si n tiene P, entonces (n) es verdadera - Si n no tiene la propiedad P, (n) es verdadera. Expresar depende de la riqueza expresiva del lenguaje. ¿Puede expresarse la propiedad ser una fórmula verdadera en PA dentro del lenguaje PA? ¿Podemos hablar acerca de (talk about) todas las funciones recursivas en el lenguaje de la aritmética? -Expresar una propiedad numérica: (obtener la extensión correcta) - Una propiedad P es expresada por una fórmula abierta (x) en un lenguaje aritmético L sss para todo número n, - Si n tiene P, entonces (n) es verdadera - Si n no tiene la propiedad P, (n) es verdadera. Expresar depende de la riqueza expresiva del lenguaje. ¿Puede expresarse la propiedad ser una fórmula verdadera en PA dentro del lenguaje PA? ¿Podemos hablar acerca de (talk about) todas las funciones recursivas en el lenguaje de la aritmética?

Capturabilidad dentro de una T -Capturar una propiedad numérica: - Una teoría T captura una propiedad P por una fórmula abierta (x) en un lenguaje aritmético L sss para todo número n, - Si n tiene P, entonces hay una demostración de (n) en T - Si n no tiene la propiedad P, hay una demostración de (n) en T. Capturar depende de los axiomas y de las capacidades de prueba de una teoría. -Capturar una propiedad numérica: - Una teoría T captura una propiedad P por una fórmula abierta (x) en un lenguaje aritmético L sss para todo número n, - Si n tiene P, entonces hay una demostración de (n) en T - Si n no tiene la propiedad P, hay una demostración de (n) en T. Capturar depende de los axiomas y de las capacidades de prueba de una teoría.

Expresabilidad Capturabilidad -Expresabilidad no implica capturabilidad: -Hay propiedades numéricas que son expresables que no son capturables. - La fórmula Prue(x) en T expresa la propiedad de ser una prueba, pero ninguna fórmula puede capturar esa propiedad. -Pero, si una teoría T captura una propiedad numérica, entonces, la expresa. -Expresabilidad no implica capturabilidad: -Hay propiedades numéricas que son expresables que no son capturables. - La fórmula Prue(x) en T expresa la propiedad de ser una prueba, pero ninguna fórmula puede capturar esa propiedad. -Pero, si una teoría T captura una propiedad numérica, entonces, la expresa.

Las verdades de la aritmética -Los teoremas de la aritmética pueden ser enumerados efectivamente. -Las verdades aritméticas no pueden ser enumeradas efectivamente. -Los teoremas de la aritmética pueden ser enumerados efectivamente. -Las verdades aritméticas no pueden ser enumeradas efectivamente.

Las verdades de la aritmética - Un lenguaje formal L es suficientemente expresivo ssi - (i) puede expresar toda relación efectivamente decidible (hay un algoritmo que una compu podría usar para decidir, en un número finito de pasos, si la relación se aplica en cualquier caso dado) - (ii) puede expresar cuantificación sobre números. - Un lenguaje formal L es suficientemente expresivo ssi - (i) puede expresar toda relación efectivamente decidible (hay un algoritmo que una compu podría usar para decidir, en un número finito de pasos, si la relación se aplica en cualquier caso dado) - (ii) puede expresar cuantificación sobre números.

Las verdades de la aritmética - Teorema 5.1: Si W es un conjunto de números efectivamente enumerable, entonces hay alguna relación numerica R efectivamente decidible tal que n W sss xRxn. - Teorema 5.2: W es un conjunto efectivamente enumerable de números sss es el dominio numérico de algún algoritmo. - Teorema 5.3: hay un conjunto efectivamente enumerable de números K tal que su complemento (-K) no es efectivamente enumerable. - Teorema 5.1: Si W es un conjunto de números efectivamente enumerable, entonces hay alguna relación numerica R efectivamente decidible tal que n W sss xRxn. - Teorema 5.2: W es un conjunto efectivamente enumerable de números sss es el dominio numérico de algún algoritmo. - Teorema 5.3: hay un conjunto efectivamente enumerable de números K tal que su complemento (-K) no es efectivamente enumerable.

Las verdades de la aritmética - Teorema 5.4: El conjunto de verdades de un lenguaje L suficientemente expresivo no es efectivamente enumerable. - Teorema 5.5: Hay conjuntos enumerables los cuales no son efectivamente enumerables. - Teorema 5.6: El conjunto de oraciones verdaderas de un lenguaje suficientemente expresivo no es axiomatizable. - Teorema 5.7: Si T es una teoría axiomatizada correcta (sound), T no puede ser completa respecto de la negación. - Teorema 5.4: El conjunto de verdades de un lenguaje L suficientemente expresivo no es efectivamente enumerable. - Teorema 5.5: Hay conjuntos enumerables los cuales no son efectivamente enumerables. - Teorema 5.6: El conjunto de oraciones verdaderas de un lenguaje suficientemente expresivo no es axiomatizable. - Teorema 5.7: Si T es una teoría axiomatizada correcta (sound), T no puede ser completa respecto de la negación.

Teorías formales axiomatizadas -Una teoría T es sólida ssi todo teorema de T es verdadero -Una teoría T es decidible ssi la propiedad de ser un teorema en T es una propiedad efectivamente decidible. Hay un procedimiento mecánico para determinar, para cualquier oración de T, si esa oración es un teorema en T. -Una teoría T decide la oración ssi es un teorema en T o es un teorema en T. -Una teoría T decide correctamente la oración ssi si es verdadera, es un teorema en T y si es falsa es un teorema en T. -Una teoría T es completa respecto de la negación ssi T decide toda oración de su L. Es decir, para cualquier, o es un teorema en T o su negación. -Una teoría T es inconsistente ssi para alguna oración, se puede probar en T o o. -Una teoría T es sólida ssi todo teorema de T es verdadero -Una teoría T es decidible ssi la propiedad de ser un teorema en T es una propiedad efectivamente decidible. Hay un procedimiento mecánico para determinar, para cualquier oración de T, si esa oración es un teorema en T. -Una teoría T decide la oración ssi es un teorema en T o es un teorema en T. -Una teoría T decide correctamente la oración ssi si es verdadera, es un teorema en T y si es falsa es un teorema en T. -Una teoría T es completa respecto de la negación ssi T decide toda oración de su L. Es decir, para cualquier, o es un teorema en T o su negación. -Una teoría T es inconsistente ssi para alguna oración, se puede probar en T o o.

Teorías efectivamente enumerables no decidibles. -El conjunto de los teoremas de T puede ser efectivamente enumerado. Es decir, podemos dar un algoritmo para enumerar mecánicamente las pruebas de sus teoremas. -El que T sea efectivamente enumarable no quiere decir que T sea decidible: Una cosa es tener un método mecánico para generar eventualmete cualquier teorema y otra es tener un método mecánico para, dada cualquier oración arbitraria poder determinar sin continuar para siempre si esa oración está en la lista de teoremas. -El conjunto de los teoremas de T puede ser efectivamente enumerado. Es decir, podemos dar un algoritmo para enumerar mecánicamente las pruebas de sus teoremas. -El que T sea efectivamente enumarable no quiere decir que T sea decidible: Una cosa es tener un método mecánico para generar eventualmete cualquier teorema y otra es tener un método mecánico para, dada cualquier oración arbitraria poder determinar sin continuar para siempre si esa oración está en la lista de teoremas.

Decibilidad y completitud respecto de la negación -Que una T sea decidible no quiere decir que sea completa respecto de la negación. -Una cosa es tener un modo mecánico de decidir lo que es un teorema (decidibilidad) y otra es tener recursos suficientes como para probar o disprove toda fórmula del lenguaje (ejemplo de teorias p.24) -Cualquier teoría consistente que sea completa respecto de la negación es decidible. -Una teoría inconsistente T es decidible. -Que una T sea decidible no quiere decir que sea completa respecto de la negación. -Una cosa es tener un modo mecánico de decidir lo que es un teorema (decidibilidad) y otra es tener recursos suficientes como para probar o disprove toda fórmula del lenguaje (ejemplo de teorias p.24) -Cualquier teoría consistente que sea completa respecto de la negación es decidible. -Una teoría inconsistente T es decidible.

Dos tipos de completitud -Que una T sea (semánticamente) completa es distinto a decir que sea completa respecto de la negación. -Una cosa es que todas las verdades sean demostrables con el aparato axiomático de la teoría. y otra es tener recursos suficientes como para probar o disprove toda fórmula del lenguaje. -Una teoría puede ser (semánticamente) completa sin ser completa respecto de la negación. -La lógica de primer orden es (semánticamente) completa, la aritmética (de acuerdo al primer teorema de Gödel) es incompleta respecto de la negación. -G no puede ser probada ni disprove en PA. -Que una T sea (semánticamente) completa es distinto a decir que sea completa respecto de la negación. -Una cosa es que todas las verdades sean demostrables con el aparato axiomático de la teoría. y otra es tener recursos suficientes como para probar o disprove toda fórmula del lenguaje. -Una teoría puede ser (semánticamente) completa sin ser completa respecto de la negación. -La lógica de primer orden es (semánticamente) completa, la aritmética (de acuerdo al primer teorema de Gödel) es incompleta respecto de la negación. -G no puede ser probada ni disprove en PA.