1 1 Slide Universidad Diego Portales Facultad de Economía y Empresa y Empresa

2 2 Slide Modelos de Probabilidad Continuos n Distribución de Probabilidad Uniforme n Distribución de Probabilidad Exponencial n Distribución de Probabilidad Normal  x f(x)f(x)f(x)f(x)

3 3 Slide Modelos de Probabilidad Continuos n Como recordará, una Variable Aleatoria Continua puede asumir cualquier valor en un intervalo en la línea de los números reales o en un conjunto de intervalos. n No es posible hablar de la probabilidad de una variable aleatoria asumiendo solo un valor. n Más bien, hablamos de la probabilidad de que la variable aleatoria asuma un determinado valor en un determinado intervalo. n La probabilidad de que la VA asuma un valor al interior de un intervalo de x 1 a x 2 se define como el área bajo la curva de la función de densidad de probabilidad entre x 1 y x 2.

4 4 Slide n Una Variable Aleatoria se encuentra uniformemente distribuida siempre que su probabilidad sea proporcional al largo del intervalo. n Función de Densidad de Probabilidad Uniforme: f ( x ) = 1/( b - a ) para a < x < b f ( x ) = 1/( b - a ) para a < x < b = 0 TOL = 0 TOL Donde: a = Menor valor que la VA puede asumir Donde: a = Menor valor que la VA puede asumir b = Mayor valor que la VA puede asumir b = Mayor valor que la VA puede asumir Distribución de Probabilidad Uniforme

5 5 Slide Distribución de Probabilidad Uniforme n Valor Esperado de x E( x ) = ( a + b )/2 n Varianza de x Var( x ) = ( b - a ) 2 /12 Var( x ) = ( b - a ) 2 /12 Donde: a = Menor valor que la VA puede asumir b = Mayor valor que la VA puede asumir b = Mayor valor que la VA puede asumir

6 6 Slide Ejemplo: Restaurante Slater n Distribución de Probabilidad Uniforme A los clientes de Slater se les cobra por el tamaño de la porción de ensalada que toman. Muestreos anteriores sugieren que el tamaño de la ensalada se distribuye uniforme entre 5 y 15 onzas. La función de densidad de probabilidad es: f ( x ) = 1/10 para 5 < x < 15 f ( x ) = 1/10 para 5 < x < 15 = 0 TOL = 0 TOL Donde: Donde: x = peso en onzas del plato de ensalada

7 7 Slide Ejemplo: Restaurante Slater n Distribución de Probabilidad Uniforme ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente tome entre 12 y 15 onzas de ensalada? f(x)f(x) f(x)f(x) x x /10 Peso (oz.) P(12 < x < 15) = 1/10(3) = 0,3

8 8 Slide Ejemplo: Restaurante Slater n Valor Esperado de x E( x ) = ( a + b )/2 = (5 + 15)/2 = (5 + 15)/2 = 10 = 10 n Varianza de x Var( x ) = ( b - a ) 2 /12 Var( x ) = ( b - a ) 2 /12 = (15 – 5) 2 /12 = (15 – 5) 2 /12 = 8,33 = 8,33

9 9 Slide Distribución de Probabilidad Exponencial n Función de Densidad de Probabilidad Exponencial para x > 0,  > 0 para x > 0,  > 0 donde:  = media donde:  = media e = e =

10 Slide Distribución de Probabilidad Exponencial n Función de Distribución Exponencial Acumulativa donde: x 0 = algún valor específico de x

11 Slide n Distribución de Probabilidad Exponencial El tiempo de arribo de autos al negocio de lavado de autos de Al sigue una distribución de probabilidad exponencial con un tiempo medio de arribo de 3 minutos. Al dueño le gustaría saber la probabilidad de que el tiempo entre la llegada de dos clientes sea 2 minutos o menos. P ( x < 2) = /3 = =.4866 Ejemplo: Lavado de Autos de Al

12 Slide Ejemplo: Lavado de Autos de Al n Gráfico de la Función de Densidad de Probabilidad x x f(x)f(x) f(x)f(x) P ( x < 2) = área = 0,4866 Tiempo entre llegadas de clientes sucesivas (mins.)

13 Slide Relación entre la distribución de Poisson y la Distribución Exponencial (Si) la distribución Poisson provee una descripción adecuada del número de descripción adecuada del número de ocurrencias por intervalo (Si) la distribución Poisson provee una descripción adecuada del número de descripción adecuada del número de ocurrencias por intervalo (Si) la distribución exponencial provee una descripción adecuada de la longitud del intervalo entre ocurrencias (Si) la distribución exponencial provee una descripción adecuada de la longitud del intervalo entre ocurrencias

14 Slide FIN DE CLASE CLASE

15 Slide Distribución de Probabilidad Normal Gráfico de una Función de Densidad de Probabilidad Normal  x f(x)f(x)f(x)f(x)

16 Slide Distribución de Probabilidad Normal n Características de la Distribución de Probabilidad Normal La forma de la curva normal tiene la forma de una curva en forma de campana. La forma de la curva normal tiene la forma de una curva en forma de campana. Consiste de dos parámetros,  (media) y  (desviación estándar); ellos son suficientes para determinar la localización y la forma de la distribución. Consiste de dos parámetros,  (media) y  (desviación estándar); ellos son suficientes para determinar la localización y la forma de la distribución. El punto más alto en la curva normal es la media, que también corresponde a la mediana y la moda. El punto más alto en la curva normal es la media, que también corresponde a la mediana y la moda. La media puede ser cualquier valor numérico: negativa, cero, o positiva. La media puede ser cualquier valor numérico: negativa, cero, o positiva. … continua

17 Slide Distribución de Probabilidad Normal n Características de la Distribución de Probabilidad Normal La curva normal es simétrica. La curva normal es simétrica. La desviación estándar determina el ancho de la curva: valores mayores resultan en curvas más anchas y planas. La desviación estándar determina el ancho de la curva: valores mayores resultan en curvas más anchas y planas. El área total bajo la curva es 1 (0,5 a la izquierda de la media, y 0,5 a la derecha). El área total bajo la curva es 1 (0,5 a la izquierda de la media, y 0,5 a la derecha). Las probabilidades para la VA normal están dadas por áreas bajo la curva. Las probabilidades para la VA normal están dadas por áreas bajo la curva.

18 Slide Distribución de Probabilidad Normal n % de los valores en intervalos comúnmente utilizados El 68,26% de los valores en una VA normal se localizan alrededor de +/- 1 desviación de su media. El 68,26% de los valores en una VA normal se localizan alrededor de +/- 1 desviación de su media. El 95.44% de los valores en una VA normal se alrededor de +/- 2 desviación de su media. El 95.44% de los valores en una VA normal se alrededor de +/- 2 desviación de su media. El 99.72% de los valores en una VA normal se alrededor de +/- 3 desviación de su media. El 99.72% de los valores en una VA normal se alrededor de +/- 3 desviación de su media.

19 Slide Distribución de Probabilidad Normal n Función de Densidad de Probabilidad Normal Donde:  = media  = media  = desviación estándar  = desviación estándar  =  = e = e =

20 Slide Distribución de Probabilidad Normal Estandarizada n Una VA que tiene una distribución normal con media cero y una desviación estándar de uno se dice tener una Distribución de Probabilidad Normal Estandarizada. n La letra z se usa comúnmente para describir a esta VA normal. n Convirtiendo a una Desviación Normal Estandarizada Podemos pensar a z como una medida del número de desviaciones estándar en que x se encuentra alejada de . Podemos pensar a z como una medida del número de desviaciones estándar en que x se encuentra alejada de .

21 Slide Ejemplo: Pep Zone n Distribución de Probabilidad Normal Estandarizada La cadena de venta de Auto partes Pep Zone vende repuestos para autos y aceites para motores de diferentes graduaciones. Cuando los inventarios de aceite llegan a los 20 galones, se emite de inmediato una orden de recompra. El administrador de una tienda local está preocupado de que se pierdan ventas debido a falta de inventarios mientras se espera por reabastecimientos. Se ha determinado que la demanda se encuentra normalmente distribuida con media de 15 galones y una desviación estándar de 6 galones. Al administrador le gustaría conocer la probabilidad de quedarse sin inventarios de aceite, es decir, P( x > 20).

22 Slide n Distribución de Probabilidad Normal Estandarizada Las tablas normales estándar muestran una área de 0, 2967 para la región entre z = 0 y z = 0,83 de las líneas abajo. El área de la cola sombreada es 0,5 – 0,2967 = 0,2033. La probabilidad de quedarse sin inventarios es de 0,2033. z = ( x -  )/  = ( )/6 = ( )/6 = 0,83 = 0,83 Ejemplo: Pep Zone 0.83 Area = 0,2967 Area =.5 Area = 0,5 – 0,2967 = 0,2033 = 0,2033 z

23 Slide n Usando la Tabla de Probabilidades Normal Estándar Ejemplo: Pep Zone

24 Slide n Distribución de Probabilidad Normal Estandarizada Si el administrador de Pep Zone quiere que la prob. de quedarse son inventarios sea no más de 0,05 ¿En que nivel de inventarios debería emitir una orden de recompra? z.05 representa el valor z de corte del área de 0,05 en la cola Ejemplo: Pep Zone Area =.05 Area =.5 Area =.45 0 z.05

25 Slide n Usando la Tabla de Probabilidades Normal Estándar Buscamos el área 0, 4500 en la tabla de probabilidades área encontrar el valor de z.05 z.05 = es el estimado más cercano. z.05 = es el estimado más cercano. Ejemplo: Pep Zone

26 Slide n Distribución de Probabilidad Normal Estandarizada El valor correspondiente de x está dado por x =  + z.05   = (6) = = Cuando los inventarios alcancen galones, debe emitirse una orden de recompra para que la probabilidad de quedarse sin ellos sea de 0,05. Tal vez el administrador de Pep Zone deba emitir la orden de recompra en 25 galones, y no en los 20 galones actuales, para mantener dicha probabilidad bajo 0,05. Ejemplo: Pep Zone