MATEMÁTICAS 1.º ESO Unidad 9: Ángulos y rectas LECTURA INICIAL ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD La civilización babilónica, hace 4.000 años, medía el tiempo dividiendo el día en 24 horas, la hora en 60 minutos y el minuto en 60 segundos. Del mismo modo, el ángulo completo mide 360º, que es el número con más divisores que está próximo a la duración del año, 365 días.

Los signos de las operaciones MATEMÁTICAS 1.º ESO Unidad 9: Ángulos y rectas Los signos de las operaciones Busca en la web Enlace a los primeros usos de los símbolos de las operaciones Enlace a introducción a ángulos

Esquema de contenidos MATEMÁTICAS 1.º ESO Unidad 9: Ángulos y rectas Rectas, semirrectas y segmentos Posiciones relativas Ángulos Clasificación Posición relativa Operaciones con ángulos Sumas y restas Bisectrices Producto por un número Sistema sexagesimal Referencias históricas Unidades angulares Unidades temporales Operaciones en sistema sexagesimal Sumas y restas Multiplicación por un número División entre un número

Ángulos derivados de un ángulo dado MATEMÁTICAS 1.º ESO Unidad 9: Ángulos y rectas Ángulos derivados de un ángulo dado A partir de un ángulo agudo dado, Â, podemos obtener dos ángulos relacionados con él, que son especialmente notables. Uno es el ángulo complementario de Â, que suma con él 90º. Otro es el ángulo suplementario de Â, que suma con él 180º. SIGUIENTE

Ángulos derivados de un ángulo dado MATEMÁTICAS 1.º ESO Unidad 9: Ángulos y rectas Ángulos derivados de un ángulo dado A partir de un ángulo agudo dado, Â, podemos obtener dos ángulos relacionados con él, que son especialmente notables. Uno es el ángulo complementario de Â, que suma con él 90º. Otro es el ángulo suplementario de Â, que suma con él 180º. Dado un ángulo Â, halla sus ángulos complementario y suplementario. ¿Cómo son entre sí las bisectrices del ángulo  y de su suplementario? SIGUIENTE

Ángulos derivados de un ángulo dado MATEMÁTICAS 1.º ESO Unidad 9: Ángulos y rectas Ángulos derivados de un ángulo dado A partir de un ángulo agudo dado, Â, podemos obtener dos ángulos relacionados con él, que son especialmente notables. Uno es el ángulo complementario de Â, que suma con él 90º. Otro es el ángulo suplementario de Â, que suma con él 180º. Dado un ángulo Â, halla sus ángulos complementario y suplementario. ¿Cómo son entre sí las bisectrices del ángulo  y de su suplementario? El complementario, , se obtiene trazando la perpendicular a un lado por el vértice del ángulo. SIGUIENTE

Ángulos derivados de un ángulo dado MATEMÁTICAS 1.º ESO Unidad 9: Ángulos y rectas Ángulos derivados de un ángulo dado A partir de un ángulo agudo dado, Â, podemos obtener dos ángulos relacionados con él, que son especialmente notables. Uno es el ángulo complementario de Â, que suma con él 90º. Otro es el ángulo suplementario de Â, que suma con él 180º. Dado un ángulo Â, halla sus ángulos complementario y suplementario. ¿Cómo son entre sí las bisectrices del ángulo  y de su suplementario? El suplementario, , se obtiene prolongando un lado del ángulo . SIGUIENTE

Ángulos derivados de un ángulo dado MATEMÁTICAS 1.º ESO Unidad 9: Ángulos y rectas Ángulos derivados de un ángulo dado A partir de un ángulo agudo dado, Â, podemos obtener dos ángulos relacionados con él, que son especialmente notables. Uno es el ángulo complementario de Â, que suma con él 90º. Otro es el ángulo suplementario de Â, que suma con él 180º. Dado un ángulo Â, halla sus ángulos complementario y suplementario. ¿Cómo son entre sí las bisectrices del ángulo  y de su suplementario? Las dos bisectrices son perpendiculares, es decir, forman 90º. En efecto, si + suman 180º, el ángulo entre las bisectrices abarca dos mitades de esos ángulos, o sea, la mitad de 180º.

El sistema sexagesimal MATEMÁTICAS 1.º ESO Unidad 9: Ángulos y rectas El sistema sexagesimal El sistema sexagesimal es el sistema usado en la primera civilización con un alto nivel de Matemáticas, la civilización denominada “babilónica”, que se desarrolló en Mesopotamia hace unos 4.000 años. Su cultura matemática queda reflejada en tablillas de arcilla (cocidas o simplemente secadas al sol), como la tablilla YBC 7289. SIGUIENTE Tablilla YBC 7289

El sistema sexagesimal MATEMÁTICAS 1.º ESO Unidad 9: Ángulos y rectas El sistema sexagesimal El sistema sexagesimal es el sistema usado en la primera civilización con un alto nivel de Matemáticas, la civilización denominada “babilónica”, que se desarrolló en Mesopotamia hace unos 4.000 años. Su cultura matemática queda reflejada en tablillas de arcilla (cocidas o simplemente secadas al sol), como la tablilla YBC 7289. En la tablilla, se dibuja un cuadrado con sus diagonales. En el centro puede leerse el número 1,24,51,10 escrito en base sexagesimal. Pasarlo a forma decimal te parecerá difícil, pero lo vas a hacer paso a paso. SIGUIENTE Tablilla YBC 7289

El sistema sexagesimal MATEMÁTICAS 1.º ESO Unidad 9: Ángulos y rectas El sistema sexagesimal El sistema sexagesimal es el sistema usado en la primera civilización con un alto nivel de Matemáticas, la civilización denominada “babilónica”, que se desarrolló en Mesopotamia hace unos 4.000 años. Su cultura matemática queda reflejada en tablillas de arcilla (cocidas o simplemente secadas al sol), como la tablilla YBC 7289. En la tablilla, se dibuja un cuadrado con sus diagonales. En el centro puede leerse el número 1,24,51,10 escrito en base sexagesimal. Pasarlo a forma decimal te parecerá difícil, pero lo vas a hacer paso a paso. 1,24 es como 1 hora 24 minutos. ¿Puedes ponerlo en forma decimal? SIGUIENTE Tablilla YBC 7289

El sistema sexagesimal MATEMÁTICAS 1.º ESO Unidad 9: Ángulos y rectas El sistema sexagesimal El sistema sexagesimal es el sistema usado en la primera civilización con un alto nivel de Matemáticas, la civilización denominada “babilónica”, que se desarrolló en Mesopotamia hace unos 4.000 años. Su cultura matemática queda reflejada en tablillas de arcilla (cocidas o simplemente secadas al sol), como la tablilla YBC 7289. En la tablilla, se dibuja un cuadrado con sus diagonales. En el centro puede leerse el número 1,24,51,10 escrito en base sexagesimal. Pasarlo a forma decimal te parecerá difícil, pero lo vas a hacer paso a paso. 1,24 es como 1 hora 24 minutos. ¿Puedes ponerlo en forma decimal? 1,24 en sexagesimal es 1 + = 1,40 en decimal. SIGUIENTE Tablilla YBC 7289

El sistema sexagesimal MATEMÁTICAS 1.º ESO Unidad 9: Ángulos y rectas El sistema sexagesimal El sistema sexagesimal es el sistema usado en la primera civilización con un alto nivel de Matemáticas, la civilización denominada “babilónica”, que se desarrolló en Mesopotamia hace unos 4.000 años. Su cultura matemática queda reflejada en tablillas de arcilla (cocidas o simplemente secadas al sol), como la tablilla YBC 7289. En la tablilla, se dibuja un cuadrado con sus diagonales. En el centro puede leerse el número 1,24,51,10 escrito en base sexagesimal. Pasarlo a forma decimal te parecerá difícil, pero lo vas a hacer paso a paso. 1,24 es como 1 hora 24 minutos. ¿Puedes ponerlo en forma decimal? 1,24 en sexagesimal es 1 + = 1,40 en decimal. 1,24,51 es como 1 hora 24 minutos 51 segundos. ¿Puedes ponerlo en forma decimal? SIGUIENTE Tablilla YBC 7289

El sistema sexagesimal MATEMÁTICAS 1.º ESO Unidad 9: Ángulos y rectas El sistema sexagesimal El sistema sexagesimal es el sistema usado en la primera civilización con un alto nivel de Matemáticas, la civilización denominada “babilónica”, que se desarrolló en Mesopotamia hace unos 4.000 años. Su cultura matemática queda reflejada en tablillas de arcilla (cocidas o simplemente secadas al sol), como la tablilla YBC 7289. En la tablilla, se dibuja un cuadrado con sus diagonales. En el centro puede leerse el número 1,24,51,10 escrito en base sexagesimal. Pasarlo a forma decimal te parecerá difícil, pero lo vas a hacer paso a paso. 1,24 es como 1 hora 24 minutos. ¿Puedes ponerlo en forma decimal? 1,24 en sexagesimal es 1 + = 1,40 en decimal. 1,24,51 es como 1 hora 24 minutos 51 segundos. ¿Puedes ponerlo en forma decimal? 1,24,51 en sexagesimal es 1 + + = = 1,414166... en decimal. SIGUIENTE Tablilla YBC 7289

El sistema sexagesimal MATEMÁTICAS 1.º ESO Unidad 9: Ángulos y rectas El sistema sexagesimal El sistema sexagesimal es el sistema usado en la primera civilización con un alto nivel de Matemáticas, la civilización denominada “babilónica”, que se desarrolló en Mesopotamia hace unos 4.000 años. Su cultura matemática queda reflejada en tablillas de arcilla (cocidas o simplemente secadas al sol), como la tablilla YBC 7289. En la tablilla, se dibuja un cuadrado con sus diagonales. En el centro puede leerse el número 1,24,51,10 escrito en base sexagesimal. Pasarlo a forma decimal te parecerá difícil, pero lo vas a hacer paso a paso. ¿Te atreves ya a pasar 1,24,51,10? SIGUIENTE Tablilla YBC 7289

El sistema sexagesimal MATEMÁTICAS 1.º ESO Unidad 9: Ángulos y rectas El sistema sexagesimal El sistema sexagesimal es el sistema usado en la primera civilización con un alto nivel de Matemáticas, la civilización denominada “babilónica”, que se desarrolló en Mesopotamia hace unos 4.000 años. Su cultura matemática queda reflejada en tablillas de arcilla (cocidas o simplemente secadas al sol), como la tablilla YBC 7289. En la tablilla, se dibuja un cuadrado con sus diagonales. En el centro puede leerse el número 1,24,51,10 escrito en base sexagesimal. Pasarlo a forma decimal te parecerá difícil, pero lo vas a hacer paso a paso. ¿Te atreves ya a pasar 1,24,51,10? 1,24,51,10 en sexagesimal es 1 + + + + = 1,41421296... en decimal El autor de la tablilla ha querido representar a , que como sabes es lo que mide la diagonal de un cuadrado de lado 1. Ve a la calculadora y calcula . Da 1,41421356... ¡Un error de menos de una millonésima en un cálculo de hace más de 40 siglos! Tablilla YBC 7289

Multiplicación de medidas temporales o angulares por números MATEMÁTICAS 1.º ESO Unidad 9: Ángulos y rectas Multiplicación de medidas temporales o angulares por números En diversas actividades, la facturación del servicio que se presta se hace en función del tiempo, dado en forma compleja. Dib 177 SIGUIENTE

Multiplicación de medidas temporales o angulares por números MATEMÁTICAS 1.º ESO Unidad 9: Ángulos y rectas Multiplicación de medidas temporales o angulares por números En diversas actividades, la facturación del servicio que se presta se hace en función del tiempo, dado en forma compleja. En un taller de reparación de automóviles se cobra la hora a 36 €. ¿Cuánto deberá pagarse por reparaciones de: a) 1 hora 15 minutos; b) 3 horas 20 minutos; c) 2 horas 12 minutos; d) 4 horas 37 minutos? Dib 177 SIGUIENTE

Multiplicación de medidas temporales o angulares por números MATEMÁTICAS 1.º ESO Unidad 9: Ángulos y rectas Multiplicación de medidas temporales o angulares por números En diversas actividades, la facturación del servicio que se presta se hace en función del tiempo, dado en forma compleja. En un taller de reparación de automóviles se cobra la hora a 36 €. ¿Cuánto deberá pagarse por reparaciones de: a) 1 hora 15 minutos; b) 3 horas 20 minutos; c) 2 horas 12 minutos; d) 4 horas 37 minutos? En los tres primeros casos, las fracciones de hora que suponen los minutos son fracciones sencillas. Dib 177 SIGUIENTE

Multiplicación de medidas temporales o angulares por números MATEMÁTICAS 1.º ESO Unidad 9: Ángulos y rectas Multiplicación de medidas temporales o angulares por números En diversas actividades, la facturación del servicio que se presta se hace en función del tiempo, dado en forma compleja. En un taller de reparación de automóviles se cobra la hora a 36 €. ¿Cuánto deberá pagarse por reparaciones de: a) 1 hora 15 minutos; b) 3 horas 20 minutos; c) 2 horas 12 minutos; d) 4 horas 37 minutos? En los tres primeros casos, las fracciones de hora que suponen los minutos son fracciones sencillas. En efecto: 15 minutos es hora, 20 minutos es hora y 12 minutos es hora. Así es fácil saber el importe de las reparaciones: Dib 177 SIGUIENTE

Multiplicación de medidas temporales o angulares por números MATEMÁTICAS 1.º ESO Unidad 9: Ángulos y rectas Multiplicación de medidas temporales o angulares por números En diversas actividades, la facturación del servicio que se presta se hace en función del tiempo, dado en forma compleja. En un taller de reparación de automóviles se cobra la hora a 36 €. ¿Cuánto deberá pagarse por reparaciones de: a) 1 hora 15 minutos; b) 3 horas 20 minutos; c) 2 horas 12 minutos; d) 4 horas 37 minutos? En los tres primeros casos, las fracciones de hora que suponen los minutos son fracciones sencillas. En efecto: 15 minutos es hora, 20 minutos es hora y 12 minutos es hora. Así es fácil saber el importe de las reparaciones: Dib 177 a) 1 x 36 + x 36 = 36 + 9 = 45 € ; b) 3 x 36 + x 36 = 108 + 12 = 120 € c) 2 x 36 + x 36 = 72 + 7,20 = 79,20 € SIGUIENTE

Multiplicación de medidas temporales o angulares por números MATEMÁTICAS 1.º ESO Unidad 9: Ángulos y rectas Multiplicación de medidas temporales o angulares por números En diversas actividades, la facturación del servicio que se presta se hace en función del tiempo, dado en forma compleja. En un taller de reparación de automóviles se cobra la hora a 36 €. ¿Cuánto deberá pagarse por reparaciones de: a) 1 hora 15 minutos; b) 3 horas 20 minutos; c) 2 horas 12 minutos; d) 4 horas 37 minutos? En los tres primeros casos, las fracciones de hora que suponen los minutos son fracciones sencillas. En efecto: 15 minutos es hora, 20 minutos es hora y 12 minutos es hora. Así es fácil saber el importe de las reparaciones: Dib 177 a) 1 x 36 + x 36 = 36 + 9 = 45 € ; b) 3 x 36 + x 36 = 108 + 12 = 120 € c) 2 x 36 + x 36 = 72 + 7,20 = 79,20 € En el último caso tenemos: SIGUIENTE

Multiplicación de medidas temporales o angulares por números MATEMÁTICAS 1.º ESO Unidad 9: Ángulos y rectas Multiplicación de medidas temporales o angulares por números En diversas actividades, la facturación del servicio que se presta se hace en función del tiempo, dado en forma compleja. En un taller de reparación de automóviles se cobra la hora a 36 €. ¿Cuánto deberá pagarse por reparaciones de: a) 1 hora 15 minutos; b) 3 horas 20 minutos; c) 2 horas 12 minutos; d) 4 horas 37 minutos? En los tres primeros casos, las fracciones de hora que suponen los minutos son fracciones sencillas. En efecto: 15 minutos es hora, 20 minutos es hora y 12 minutos es hora. Así es fácil saber el importe de las reparaciones: Dib 177 a) 1 x 36 + x 36 = 36 + 9 = 45 € ; b) 3 x 36 + x 36 = 108 + 12 = 120 € c) 2 x 36 + x 36 = 72 + 7,20 = 79,20 € En el último caso tenemos: 4 x 36 + x 36 = 144 + 37 x 0,60 = 144 + 22,2 = 166,2 €

División con medidas de tiempo MATEMÁTICAS 1.º ESO Unidad 9: Ángulos y rectas División con medidas de tiempo Dado que las medidas de tiempo, en el lenguaje cotidiano, vienen dadas en forma compleja, los cálculos que se refieren a movimientos de personas o vehículos tienen una dificultad añadida cuando los datos o el resultado no son números enteros. Un tren hace un viaje de 215 km a una velocidad media de 92 km/h. ¿Qué tiempo emplea en ese viaje? SIGUIENTE

División con medidas de tiempo MATEMÁTICAS 1.º ESO Unidad 9: Ángulos y rectas División con medidas de tiempo Dado que las medidas de tiempo, en el lenguaje cotidiano, vienen dadas en forma compleja, los cálculos que se refieren a movimientos de personas o vehículos tienen una dificultad añadida cuando los datos o el resultado no son números enteros. Un tren hace un viaje de 215 km a una velocidad media de 92 km/h. ¿Qué tiempo emplea en ese viaje? Hay que dividir el espacio recorrido, 215 km, entre la velocidad, 92 km/h. Esto nos da horas. Pasa ese tiempo a forma compleja (horas, minutos, segundos). SIGUIENTE

División con medidas de tiempo MATEMÁTICAS 1.º ESO Unidad 9: Ángulos y rectas División con medidas de tiempo Dado que las medidas de tiempo, en el lenguaje cotidiano, vienen dadas en forma compleja, los cálculos que se refieren a movimientos de personas o vehículos tienen una dificultad añadida cuando los datos o el resultado no son números enteros. Un tren hace un viaje de 215 km a una velocidad media de 92 km/h. ¿Qué tiempo emplea en ese viaje? Hay que dividir el espacio recorrido, 215 km, entre la velocidad, 92 km/h. Esto nos da horas. Pasa ese tiempo a forma compleja (horas, minutos, segundos). 1.º Hacemos la división entera de 215 entre 92: 215 92 31 2 horas SIGUIENTE

División con medidas de tiempo MATEMÁTICAS 1.º ESO Unidad 9: Ángulos y rectas División con medidas de tiempo Dado que las medidas de tiempo, en el lenguaje cotidiano, vienen dadas en forma compleja, los cálculos que se refieren a movimientos de personas o vehículos tienen una dificultad añadida cuando los datos o el resultado no son números enteros. Un tren hace un viaje de 215 km a una velocidad media de 92 km/h. ¿Qué tiempo emplea en ese viaje? Hay que dividir el espacio recorrido, 215 km, entre la velocidad, 92 km/h. Esto nos da horas. Pasa ese tiempo a forma compleja (horas, minutos, segundos). 1.º Hacemos la división entera de 215 entre 92: 215 92 31 2 horas 2.º Multiplicamos el resto por 60 (31 x 60 = =1.860) y dividimos de nuevo por 92: 1860 92 020 20 minutos SIGUIENTE

División con medidas de tiempo MATEMÁTICAS 1.º ESO Unidad 9: Ángulos y rectas División con medidas de tiempo Dado que las medidas de tiempo, en el lenguaje cotidiano, vienen dadas en forma compleja, los cálculos que se refieren a movimientos de personas o vehículos tienen una dificultad añadida cuando los datos o el resultado no son números enteros. Un tren hace un viaje de 215 km a una velocidad media de 92 km/h. ¿Qué tiempo emplea en ese viaje? Hay que dividir el espacio recorrido, 215 km, entre la velocidad, 92 km/h. Esto nos da horas. Pasa ese tiempo a forma compleja (horas, minutos, segundos). 1.º Hacemos la división entera de 215 entre 92: 215 92 31 2 horas 2.º Multiplicamos el resto por 60 (31 x 60 = =1.860) y dividimos de nuevo por 92: 1860 92 020 20 minutos 3.º Multiplicamos el nuevo resto por 60 (20 x 60 = 1200) y dividimos de nuevo por 92: 1200 92 280 13 segundos 04 El tren ha tardado: 2 horas 20 minutos y 13 segundos.

Enlaces de interés Divulgación Educación matemática MATEMÁTICAS 1.º ESO Unidad 9: Ángulos y rectas Enlaces de interés Divulgación Educación matemática IR A ESTA WEB IR A ESTA WEB

Actividad: Un juego sobre la razón entre dos números MATEMÁTICAS 1.º ESO Unidad 9: Ángulos y rectas Actividad: Un juego sobre la razón entre dos números Dirección: http://www.shodor.org/interactivate/activities/angles/index.html En Shodor, podemos ver ángulos en posiciones diferentes y relacionarlos entre sí por parejas. Para hacer la actividad, sigue este enlace.