Innovación docente e investigación educativa en Matemáticas Pablo Flores Martínez Departamento de Didáctica de la Matemática Universidad de Granada www.ugr.es/local/pflores pflores@ugr.es

Innovación docente e investigación educativa en Matemáticas PROGRAMA 1ª Parte Genérica 1. Innovación y Calidad en Educación Secundaria. 2. Procesos de Investigación Educativa I (modelos cuantitativos) 3. Procesos de investigación Educativa II (modelos cualitativos) 4. Instrumentos de recogida de datos en educación (encuesta, entrevista, observación, etc.) 5. Tipos de informes y proyectos (fuentes de datos y tipos de informes y proyectos de investigación). 2ª Parte Específica a) Innovación en Educación Matemáticas b) Recursos y Materiales didácticos para innovar c) Investigación en Enseñanza de las Matemáticas

Innovación docente e investigación educativa en Matemáticas Sesión Contenido 2ª Parte 1) 21/1 Presentación. Innovación en Educación Matemática 2) 21/1 Materiales y Recursos en Ed. Matemática 3) 25/1 Materiales enseñanza de Números 4) 28/1 Materiales enseñanza de la Geometría 5) 28/1 Materiales enseñanza del símbolo 6) 01/2 Nuevas tecnologías en Ed. Matemática 7) 02/2 Proyecto de Innovación 8) 04/2 Investigación en Educación Matemática (a) (b) (c)

Innovación docente e investigación educativa en Matemáticas Ideas del curso: El Profesor se va a enfrentar a: - Cambios curriculares (tiene que estar abierto críticamente a ellos) - Situaciones novedosas que requieren innovar, teniendo en cuenta Déficit educativos observados, problemas educativos Líneas prioritarias curriculares Lo que se ha investigado sobre el problema Conocer recursos educativos adecuados

VISIÓN ESPACIAL Con una hoja de papel, hacer la siguiente figura:

La enseñanza y aprendizaje de la geometría Innovación docente e investigación educativa en Matemáticas. Sesiones 4 y 5: Materiales y recursos para Geometría y Álgebra La enseñanza y aprendizaje de la geometría Materiales para la enseñanza y aprendizaje de la geometría Materiales para la enseñanza del álgebra Conclusiones

Enseñanza y Aprendizaje de la Geometría Junta de Andalucía (2007) Conjugar metodología tradicional con experimentación por manipulación y con tecnología. Uso materiales manipulables, programas de geometría dinámica, potenciando laboratorio de matemáticas. Resolución de problemas con modelos geométricos (figuras y formas) Encontrar en entorno elementos geométrico para: - Reconocimiento - Representación - Clasificar -Determinar características, - Deducir analogías y diferencias - Razonar sobre relaciones geométricas. Relacionar con otros ámbitos: naturaleza, arte, arquitectura, diseño Fomentar sentido estético, gusto por orden y complejidad.

Enseñanza y Aprendizaje de la Geometría Alsina, Burgués, Fortuny (1989) Etapas de dominio del espacio: Visualización (tras observar, memorizar para reconocer) Estructuración (reconocer y reconstruir objeto a partir de elementos) Traducción (relacionar objeto con descripción) Determinación (reconocer existencia a partir de descripción de relaciones) Clasificación (reconocer clases de objetos) 8

Materiales para la Enseñanza y Aprendizaje de la Geometría Polígonos en Tangram Clasificar cuadriláteros por diagonales Matemáticas para la Fórmula I Análisis del DIN A4 9

1: Construir y Definir CONSTRUIR Construir un TANGRAM doblando y cortando papel

Tarea 3: EL TANGRAM (DEFINIR) RESOLVER - Construir el cuadrado, un triángulo, un rectángulo, un trapecio isósceles y un paralelogramo, siempre con todas las piezas - Construir el polígono de mayor número de lados empleando el Tangram (Revisar documentos, si es necesario) Definir POLíGONO Definir TRIANCUAD. Buscar contraejemplos a otras definiciones. Consensuad definición.

Construir y definir CONSTUIR Y DEFINIR Construir EL POLÍGONO DE MAYOR NÚMERO DE LADOS empleando el TANGRAM Polígono: La unión de varios segmentos de modo que el extremo final de cada uno sea el origen del siguiente, sin estar alineados dos consecutivos, se llama línea poligonal. A los segmentos se les llama lados y a sus extremos vértices. Cuando el extremo del último segmento coincide con el origen del primero se tiene un polígono, o línea poligonal cerrada (trataremos sólo el caso en que lados no consecutivos carezcan de punto común). También se llama polígono a la porción del plano que queda encerrada por la línea. Diccionario Escolar de matemáticas

DEFINIR CONSTUIR Y DEFINIR Construir EL POLÍGONO DE MAYOR NÚMERO DE LADOS empleando el TANGRAM Curvas: Hay curvas planas y curvas espaciales. Las curvas pueden tener un punto inicial y un punto final. Las curvas que no se intersecan se llaman curvas simples. Si los puntos inicial y final coinciden la curva se llama cerrada Polígono: Una curva simple que está formada por segmentos unidos por sus extremos, se llama curva polígonal. Si es cerrada, se llama polígono: a los segmentos se les llama lados, y a los extremos de esos segmentos, vértices. Curva cerrada Polígono Curva no simple Curva poligonal

DEFINIR Vamos a presentar un TRIANCUAD, mediante pasos. Pensar si las siguientes figuras son o no un TRIANCUAD, y ver las respuestas. Al final debéis definir el TRIANCUAD. ES UN TRIANCUAD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 NO SI SI SI NO SI NO NO SI NO NO NO SI SI SI SI NO NO ESCRIBIR LA DEFINICIÓN DE UN TRIANCUAD

2. CONSTRUIR Y CLASIFICAR . Construir con el mecano, cuadriláteros que tengan como diagonales a las piezas y como lados goma elástica . Clasificar los cuadriláteros según: El número de ejes de simetría y otro criterio, y los dos criterios en conjunto Buscar criterios para clasificar según sus diagonales

Geometría Plana: CLASIFICAR Clasificar los cuadriláteros según: El número de ejes de simetría; El número de ángulos rectos Nº ejes simetría 0 ejes 1 eje 2 ejes Más de 2 0 áng 1 áng 2 áng 3 áng 4 áng Nº ángulos rectos

Geometría Plana: CLASIFICAR Clasificar los cuadriláteros según: El número de ejes de simetría; El número de ángulos rectos Nº ejes simetría 0 ejes 1 eje 2 ejes Más de 2 Criterio:

MATEMÁTICAS PARA LA FÓRMULA 1 Concurso Matemáticas + Física en acción Coordinador: Rafael Ramírez Uclés

3. MATEMÁTICAS PARA LA FÓRMULA 1 Dibujar pista en papel cuadriculado con anchura suficiente (con curvas) Cada jugador (i) elige punto de salida (Sij) y avanza coche según tres reglas en cada paso (j): 1.- Vector Vij = (k,m) formado por punto partida (Sij) y llegada (Sij+1) está contenido en pista. 2.- No se permiten colisiones. 3.- Aceleraciones y frenadas: Si Vij = (k,m) (desplazamiento j de k verticales y m horizontales), y Vij+1 = (k’,m’): │k-k’│≤ 1 y │m-m’│≤ 1

3. MATEMÁTICAS PARA LA FÓRMULA 1 Dibujar pista en papel cuadriculado con anchura suficiente (con curvas) Cada jugador (i) elige punto de salida (Sij) y avanza coche según tres reglas en cada paso (j): 1.- Vector Vij = (k,m) formado por punto partida (Sij) y llegada (Sij+1) está contenido en pista. 2.- No se permiten colisiones. 3.- Aceleraciones y frenadas: Si Vij = (k,m) (desplazamiento j de k verticales y m horizontales), y Vij+1 = (k’,m’): │k-k’│≤ 1 y │m-m’│≤ 1 Por parejas: a) Dibujar un circuito, jugar una carrera b) Analizar qué contenidos matemáticos se utilizan en el juego

DIN A4 El tamaño dominante en este momento en el papel de oficina, es el DIN A4. Estudiar qué cualidades geométricas tiene este papel: Dimensiones Relación entre ancho y largo Cualidades que lo han hecho tan popular.

DIN A4

Conclusiones Materiales geometría La enseñanza de la geometría no se puede reducir a aprender nombres y fórmulas. Su finalidad es facilitar la relación del alumno con su entorno geométrico. Esto exige: conocer figuras geométricas, nombres y propiedades, pero también reconocer en entorno, caracterizarlas, definirlas, clasificar, establecer propiedades, comprobarlas y demostrarlas. Para ello diversificar las experiencias en Geometría, trabajando todas las etapas (visualización, estructuración, traducción, determinación, clasificación) LOS MATERIALES Y RECURSOS AYUDAN EN LA ENSEÑANZA DE LA GEOMETRÍA Y EN EL DESARROLLO DE LA VISUALIZACIÓN

Enseñanza y Aprendizaje del Álgebra Dos funciones del Álgebra Herramienta para resolver problemas (traducir a ecuaciones, resolver ecuaciones) (Letra incógnita) Cálculo simbólico, aritmética generalizada (letra variable) 24

Materiales para la Enseñanza y Aprendizaje del Álgebra Fichas para la introducción al álgebra a partir de un modelo lineal Puzzles de igualdades algebraicas Patrones numéricos 25

Materiales para la Enseñanza y Aprendizaje del Álgebra: Ficha de introducción al álgebra Actividad 8: Estudiar la ficha de introducción al álgebra, resolver algunos ejercicios para determinar su estructura. Realizar un esquema que muestre la diferencia entre las fichas, los ejercicios, etc., analizando cómo se va complicando 26

(a+b)2 = Área cuadrado de lados a y b Materiales para la Enseñanza y Aprendizaje del Álgebra: Puzzles de igualdades algebraicas (a+b)2 = Área cuadrado de lados a y b b2 a.b (a+b)2 = a2 + b2 + 2a.b a2 a.b a b 27

El cuadrado de la diferencia Suma por diferencia Materiales para la Enseñanza y Aprendizaje del Álgebra: Puzzles de igualdades algebraicas Actividad 9: Demostrar gráficamente fórmula: El cuadrado de la diferencia Suma por diferencia 28

CONFIGURACIÓN PUNTUAL Representación gráfica de una colección finita de puntos que responde a un propósito o a cierta intencionalidad

Números Figurados Configuración puntual que representa un cardinal, el criterio de estructuración de los punto se asemeja a una figura, por lo general, geométrica reconocible.

Números poligonales Son números figurados cuya forma es un polígono. Según el tipo de polígono se distinguen: números triangulares números cuadrados o cuadrangulares números pentagonales … Cada uno de estos tipos forman una secuencia de números naturales que comparten una misma estructura, siguen el mismo patrón.

Son aquellos que su configuración puntual tiene forma de triángulo Números Triangulares Son aquellos que su configuración puntual tiene forma de triángulo                     T1 T2 T3 T4

                   

1º fila 1 1 1 1 1 1... 2ª fila 1 2 3 4 5 6... 3ª fila 1 3 6 10 15 21

Números Cuadrados C1 C2 C3 C4

1 = 1 1 + 3 = 4 1 + 3 + 5 = 9 1 + 3 + 5 + 7 = 16

1ª fila 2 2 2 2 2... 2ª fila 1 3 5 7 9... 3ª fila 1 4 9 16 25...

Números pentagonales P1 P2 P3 P4

Números cúbicos

Números Piramidales Triangulares P1=1, P2=4, Continuar la serie tres lugares más

Números Piramidales Cuadrangulares

Números poligonales 1 2 3 4 r 6 10 ½ r (r+1) 9 16 ½ r (2r-0) 5 12 22 Nombre Nº P/lado 1 2 3 4 … r Triangulares 6 10 ½ r (r+1) Cuadrados 9 16 ½ r (2r-0) Pentagonales 5 12 22 ½ r (3r-1) Hexagonales 15 28 …. ½ r (4r-2) Heptagonales 7 18 34 ½ r (5r-3) N-gonales n 3(n-1) 2(3n-4) ½ r[(r-1)n-2(r-2)]

Conclusiones Materiales Álgebra El alumno tiene grandes dificultades para comprender e introducir la letra Los modelos gráficos ayudan a comprender el papel de la letra en Matemáticas (incógnita y variable) Los patrones geométricos hacen relacionar los conceptos algebraicos con los geométricos, permiten obtener expresiones algebraicas y ayudan a su aprendizaje 44

Innovación docente e investigación educativa en Matemáticas Sesión 4: Materiales y recursos en Educación Matemática Textos Alsina, Burgués y Fortuny (1989) ORDEN de 10 de agosto de 2007, JJAA. Castro (1993) Martínez y Fernández (2007) Domínguez (2005) Gardner, Rosquillas anudadas Nelsen, 2000