Movimiento ondulatorio

Una onda es una perturbación que se propaga desde el punto en que se produjo, a través del espacio transportando energía y no materia. El medio perturbado puede ser de naturaleza diversa como aire, agua, un sólido o el vacío.

Clasificación de las ondas: Según el medio en el que se propagan: - Ondas mecánicas - Ondas electromagnéticas En función de su propagación: - Unidimensionales - Bidimensionales o superficiales - Tridimensionales o esféricas En función de la dirección de perturbación: - Ondas longitudinales - Ondas transversales

Según el medio en el que se propagan Ondas mecánicas Son perturbaciones físicas que se propagan en un medio elástico Considere una piedra que se suelta en un lago. Se transfiere energía de la piedra al tronco que flota, pero sólo viaja la perturbación.

Ondas electromagnéticas Se propagan por el espacio sin necesidad de un medio, pudiendo por lo tanto propagarse en el vacío.

En función de su propagación o frente de onda Ondas unidimensionales Son aquellas que se propagan a lo largo de una sola dirección del espacio, como las ondas en los resortes o en las cuerdas.

Ondas bidimensionales o superficiales -Son ondas que se propagan en dos direcciones. Pueden propagarse, en cualquiera de las direcciones de una superficie, por ello, se denominan también ondas superficiales. - FRENTE DE ONDA.- Líneas que une todos los puntos que en un mismo instante se encuentran en idéntico estado de vibración (misma elongación y misma velocidad de vibración) - Un ejemplo son las ondas que se producen en una superficie líquida en reposo cuando, por ejemplo, se deja caer una piedra en ella.

Ondas tridimensionales o esféricas - Son ondas que se propagan en tres direcciones. - Sus frentes de ondas son esferas concéntricas que salen de la fuente de perturbación expandiéndose en todas direcciones. - FRENTE DE ONDA.- Superficie esférica que une todos los puntos que en un mismo instante se encuentran en idéntico estado de vibración (misma elongación y misma velocidad de vibración) Sonido luz

En función de la dirección de la perturbación Ondas longitudinales La perturbación se produce de manera paralela a la dirección de propagación de la onda. Ejemplos -Un resorte que se comprime da lugar a una onda longitudinal -Las ondas sonoras: la perturbación es una compresión o descompresión del aire

Ondas transversales La perturbación es en sentido perpendicular a la dirección de propagación de la onda. Ejemplos: -Las ondas que se generan al agitar una cuerda. -Las ondas electromagnéticas.

Olas Una ola oceánica es una combinación de transversal y longitudinal. Las partículas individuales se mueven en elipses conforme la perturbación de la onda se mueve hacia la playa.

Ecuación de propagación de una onda mecánica unidimensional y transversal Toda función matemática que dependa de la coordenada de avance y del tiempo se denomina FUNCIÓN DE ONDA → y = f(x,t) Supongamos una recta de pendiente “m” que se desplaza, hacia la derecha o hacia la izquierda, a velocidad constante “v” y y .El valor de la abcisa en el instante “t”→ a = vt a.- Desplazamiento DERECHA: Si la ecuación de la recta en el instante t = 0 es y = mx ¿Cuál será la ecuación de la recta en el instante “t”?. Para ello calcula la ordenada en el origen “n”, conociendo que para y = 0→ x = +a [Sol: y = m(x-a);; y = m(x-vt);; y = f(x-vt)] b.- Desplazamiento IZQUIERDA: el origen “n”, conociendo que para y = 0→ x = -a [Sol: y = m(x+a);; y = m(x+vt);; y = f(x+vt)] x x +a t = 0 t y y x x -a t t = 0

Velocidad de propagación de una onda mecánica unidimensional y transversal .Para que una onda mecánica se propague, el medio ha de poseer: Elasticidad → Existencia de fuerzas restauradoras. Inercia → Propia de la densidad del medio. - En una cuerda tensa podemos comprobar empíricamente: a) Cuanto más tensa está la cuerda mayor es la velocidad de propagación de un pulso generado en el otro extremo. b) Cuanto más pesada es la cuerda menor será la velocidad de propagación. Para determinar la velocidad de propagación bastaría con medir el tiempo que tarda el pulso en recorrer la longitud de la cuerda. c) En efecto:

EJEMPLO DE ONDA MECÁNICA UNIDIMENSIONAL TRANSVERSAL LAS ONDAS ARMÓNICAS PONGAMOS EL TIEMPO EN MARCHA y vp x -La velocidad de propagación indica la rapidez de avance de la onda en la dirección X. -Es siempre constante y solamente depende del medio físico. t=0

y vp x x1 t=t1

y vp x x2 t=t2

y vp x t=t3

y vp x t=T/4

y vp x La primera partícula ha cambiado el sentido de su movimiento t>T/4

y vp x Ya son varias las partículas que han invertido el sentido de su movimiento t>T/4

y vp x t=T/2

y vp x x t>T/2 Una partícula cualquiera situada a una distancia “x” del origen, llevará un desfase con respecto a la primera.

y vp x t=3T/4

La amplitud oscilación de todas las partículas es la misma A y vp x t>3T/4 La amplitud oscilación de todas las partículas es la misma A

Y CONTINUARÍA PROPAGÁNDOSE.... vp x t=T Ha transcurrido un periodo completo La frecuencia angular de todas es la misma, w(rad/s), ya que todas tardan el mismo tiempo en realizar una oscilación completa.

¿QUÉ TENEMOS TU Y YO EN COMÚN?  vp ¿QUÉ TENEMOS TU Y YO EN COMÚN? VIBRAMOS EN FASE, ES DECIR, QUE EN TODO MOMENTO TENEMOS LA MISMA ELONGACIÓN, Y EL MISMO SENTIDO EN LA VELOCIDAD

¿Y YO?, ¿NO TENGO EL MISMO ESTADO QUE VOSOTROS DOS? /2 /2 vp ¿Y YO?, ¿NO TENGO EL MISMO ESTADO QUE VOSOTROS DOS? NEGATIVO. TU VIBRAS EN OPOSICIÓN DE FASE, ES DECIR, TENEMOS SENTIDO DE MOVIMIENTO CONTRARIOS

DIFERENCIA DE FASE (d) Concordancia de fase: Puntos con la misma elongación y mismo sentido en la velocidad. Oposición de fase: Puntos con la misma elongación en valor absoluto y distinto sentido en la velocidad. (La diferencia de fase “d “ para cada medio ciclo es igual a p radianes) A.1 ¿Cuál será la diferencia de fase para las partículas que estén en concordancia de fase?. ¿Y para las que estén en oposición de fase?

ONDAS ARMÓNICAS LA FUNCIÓN DE ONDA QUE LA DESCRIBE ES UNA FUNCIÓN SINUSOIDAL. CADA PUNTO DEL MEDIO OSCILA CON UN M.A.S. SI LA ONDA ARMÓNICA SE DESPLAZA HACIA LA DERECHA: SI LA ONDA ARMÓNICA SE DESPLAZA HACIA LA IZQUIERDA:

Parámetros de una onda armónica Longitud de onda (λ): Distancia entre dos puntos consecutivos en idéntica fase. Período (T): Tiempo que tarda la perturbación en recorrer una λ. Frecuencia (u): Número de λ por segundo. Velocidad de propagación (v): Desplazamiento efectuado por la perturbación en la unidad de tiempo. Es constante

Número de onda (k): Número de λ en una distancia 2p metros. Frecuencia angular (w): Número de T en un tiempo 2p segundos. Fase inicial (jo): Ángulo (en radianes) para t=0 y x=0 A.2 ¿Qué relación se obtendrá al dividir la frecuencia angular por el número de onda?

 Diferencia de fase d(rad) en una onda armónica: a) Entre dos puntos separados una distancia Dx = x2-x1, siendo t = cte  Onda (abcisa x2) y=Asen(kx2 – wt + jo ) Onda (abcisa x1) y'=Asen(kx1 – wt + jo) d = (kx 2- t + jo - (kx 1- t + jo) d = k(x2 –x1) x1 t = cte x2

y A.3.- Demostrar las ecuaciones anteriores 5/2 3/2 /2  2 vp /2  2 CONDICIÓN QUE CUMPLEN DOS PUNTOS EN CONCORDANCIA DE FASE: LA DISTANCIA ENTRE ELLOS ES UN MÚLTIPLO ENTERO DE SU LONGITUD DE ONDA x2 – x1 =N· donde N es un número entero (1,2,3…..) CONDICIÓN QUE CUMPLEN DOS PUNTOS EN OPOSICIÓN DE FASE: LA DISTANCIA ENTRE ELLOS ES UN NÚMERO IMPAR DE SEMILONGITUDES DE ONDA x2 – x1 =(2N-1)·/2 donde N es un número entero (1,2,3…..) A.3.- Demostrar las ecuaciones anteriores

Diferencia de fase d(rad) en una onda armónica: b) En un punto separado un intervalo de tiempo Dt = t2-t1, siendo x = cte  Onda (instante t1) y=Asen(kx –wt1 + jo) Onda (instante t2) y'=Asen(kx –wt2 + jo) d = (kx - t1 + jo - (kx - t2 + jo) d =w (t2 –t1) x t1 t2 > t1 x = cte x

Energía transmitida por las ondas armónicas:

a) Energía transmitida por las ondas unidimensionales: La amplitud decrece con la distancia al foco de emisión pero la frecuencia de emisión y la energía total permanecen constantes.

b) Energía transmitida por las ondas bidimensionales: La amplitud decrece con la distancia al foco de emisión pero la frecuencia de emisión y la energía total permanecen constantes.

c) Energía transmitida por las ondas tridimensionales: La amplitud y la intensidad decrecen con la distancia al foco de emisión pero la frecuencia de emisión y la energía total permanecen constantes.

EJERCICIOS.- 4.- Se tensa una cuerda larga que tiene una longitud de 1 metro y una masa de 10 g, colgando de uno de sus extremos una masa de 6 kg. Si se hace oscilar transversal el otro extremo de la cuerda, ¿con qué velocidad se propagarán las ondas en la cuerda?.(Sol: 77.5 m/s) g = 10 m/s2 5.- Una cuerda sometida a una tensión constante de 60 N tiene una densidad lineal de 150g/m ¿Cuánta potencia debe suministrarse a la cuerda para producir ondas armónicas de una amplitud de 10 cm y una frecuencia de 30 Hz?. (Sol: 533 w). 6.- Una cuerda tensa tiene una longitud de 8 m y pesa 8.7 N. Indica la potencia que debemos suministrarle para producir ondas armónicas que responden a esta ecuación: y = 10 sen p(4x-80t) (cm, s). (Sol: 6.95 w) 7.- Escribe la ecuación de una onda armónica que avanza en el sentido positivo de las x con Una amplitud de 15 cm y una frecuencia de oscilación de 350 Hz, si su velocidad de Propagación es de 200 cm/s. (Sol: y = 15 sen(3.5px-700pt) (cm, s) )

8.- Una onda armónica se mueve hacia la izquierda con una amplitud de 10 cm, una longitud de onda de 0.5 m y un período de 0.2 s. Escribe la ecuación que representa dicha onda si la elongación “y” vale 10 cm en x=0 y en el instante inicial. Determina igualmente la velocidad de propagación de la onda. (Sol: y = 0.1 cos(4px+10pt) (m, s); v = 2.5 m/s). 9.- Una onda armónica viene descrita mediante la ecuación: y = 15 sen(0.4x-20t) (cm, s) La amplitud, frecuencia angular y el número de onda. (Sol: 15 cm; 20 rad/s; 0.4 cm-1) La longitud de onda, la frecuencia y el período. (Sol: 15.7 cm; 3.2 Hz; 0.31 s) La velocidad de propagación de la onda y su sentido. (Sol: 50, cm/s; eje-x(+)) 10.- Una partícula oscila verticalmente en la dirección “y”, en torno al origen de coordenadas, con una amplitud de 2 cm y una frecuencia de 1/8 Hz. La posición inicial de la partícula es y=2 cm. Las oscilaciones de la partícula originan una onda armónica transversal que se propaga hacia el eje-x (+). Sabiendo que la distancia entre dos puntos consecutivos del eje-x que oscilan con un desfase d = p rad es de 20 cm, determina: La amplitud y la frecuencia angular de la onda armónica. (Sol: 2 cm; p/4 rad). Su longitud de onda y su velocidad de propagación. (Sol: 0.4 m; 0.05 m/s) La expresión matemática de la elongación. (Sol: y = 0.02 cos[5px-(p/4)t] (m, s)) La expresión de la velocidad de oscilación en función del tiempo para un punto del eje-x situado a 20 cm de la partícula vibrante.(Sol: v = 5p 10-3 sen[5px-(p/4)t] (m, s)) El valor de la velocidad de oscilación del punto anterior en t = 10 s. (Sol: 1.57 10-2 m/s)

13.- .- Una onda transversal armónica puede expresarse en la forma: 11.- La ecuación de una onda es y = 0.02 sen[10p(x-2t)+0.52] (m, s). Calcula: La amplitud, la longitud de onda, la frecuencia, la velocidad de propagación y la fase inicial de dicha onda. La velocidad de oscilación de una partícula situada a 20 cm del foco en el instante 5 s. 12.- La ecuación de una onda tiene la expresión: y = A sen(2pbt – cx) a) ¿Qué representan los coeficientes b y c?. ¿Cuáles son sus unidades en el SI?. b) ¿Qué interpretación tendría que el signo de dentro del paréntesis fuese positivo en lugar de negativo?. c) Una onda armónica viaja a 30 m/s en la dirección positiva del eje X con una amplitud de 0.5 m y una longitud de onda de 0.6 m. Escribe la ecuación del movimiento, como una función del tiempo, para un punto al que le llega la perturbación y está situado en x = 0.8 m. 13.- .- Una onda transversal armónica puede expresarse en la forma: y = A sen (k x – ωt + jo). a) Explica el significado físico de cada una de las magnitudes que aparecen en esta expresión. b) Si A = 0,01 m, ω = 100p rad/s, j0 = 0 y la velocidad de propagación de la onda es de 300 m/s, representa el perfil de la onda, y(x), en el instante t = 0,02 s.

a) Amplitud, periodo, longitud de onda y sentido de desplazamiento. 14.- La ecuación de una onda viene dada por la expresión y = 0.5cos4p(10t-x) en el S.I. Calcular: a) Amplitud, periodo, longitud de onda y sentido de desplazamiento. b) Velocidad de propagación y velocidad de vibración de un punto del medio situado a 5 metros del origen en el instante 10 segundos después de iniciado el movimiento c) Diferencia de fase que existirá entre dos puntos del medio de propagación separados:1) por una distancia de 0.5 m y 2) por una distancia de 0.25 m. ¿Cómo estarán estos puntos del medio entre sí?. 15.- Se hace vibrar una cuerda de 4'2 m con oscilaciones armónicas transversales con una frecuencia de 300 Hz y una amplitud de 10 cm, tardando las ondas en llegar al otro extremo 0'02 s. Calcular los parámetros de la onda y su elongación, velocidad y aceleración máximos transversales.