FÍSICA DE SEMICONDUCTORES Mecánica Cuántica Tatiana Andrea Gracia Prada -fsc11Tatiana- 08-06-15

Ecuación de Schrodinger - Concepto de Sistema Cuántico - Exprese unos postulados básicos ó definiciones fundamentales A partir del Principio de Conservación de la Energía arme la Ecuación de Schrodinger Función de onda. Exprese qué es la solución de la Ec de Sch.. y que contiene toda la información del Sistema Cuántico que describe

Postulados y Definiciones Fundamentales Sistema Cuántico: Schrödinger define un sistema cuántico como un conjunto de partículas cuánticas en un espacio potencial, moviéndose en un ambiente de campo eléctrico o potencial. Niveles de Energía: Bajo las formulas halladas con el modelo de Bohr, se conoce que la energía en cada nivel de energía es:

Postulados y Definiciones Fundamentales El modelo de Bohr funcionaba muy bien para el átomo de hidrógeno. En los espectros realizados para otros átomos se observaba que electrones de un mismo nivel energético tenían energías ligeramente diferentes. Esto no tenía explicación en el modelo de Bohr, y sugería que se necesitaba alguna corrección. La propuesta fue que dentro de un mismo nivel energético existían subniveles. En 1916, Arnold Sommerfeld plantea que los electrones sólo giran en órbitas circulares, al decir que también podían girar en órbitas elípticas más complejas y calculó los efectos relativistas.

Postulados y Definiciones Fundamentales El modelo atómico de Schrödinger (1924) es un modelo cuántico no relativista. Se basa en la solución de la ecuación de Schrödinger para un potencial electrostático con simetría esférica, llamado también átomo hidrogenoide. En este modelo los electrones se contemplaban originalmente como una onda estacionaria de materia cuya amplitud decaía rápidamente al sobrepasar el radio atómico.

Ecuación de Schrodinger - Concepto de Sistema Cuántico - Ecuación de Schrödinger. Está ecuación fue hallada a partir de la conservación de la energía. Dicha formula describe el comportamiento de un sistema cuántico. Ψ ′′ + 2𝑚 ħ 2 𝐸 𝑇 −𝑈 Ψ=0 Donde m es la masa del electrón, h la constante de Planck(divida entre 2𝜋), E la energía total del electrón, U la energía potencial del mismo y 𝛹 la función de onda. Definiendo: 𝑘 2 = 2𝑚 ħ 2 [ 𝐸 𝑇 −𝑈] Al reemplazar se obtiene la ecuación de Schrödinger: 𝜳 ′′ + 𝒌 𝟐 𝜳=𝟎

Ecuación de Schrodinger - Concepto de Sistema Cuántico - Schrödinger propone el momento de un electrón como: 𝜌 =−𝑖∗ℎ∗ 𝜕 𝜕𝑥 𝜌 2 =− ℎ 2 ∗ 𝜕 2 𝜕𝑥 2 Donde a partir de la definición de energía, dada por la conservación de la energía, se tiene: 𝐸 𝑇 = 𝐸 𝐾 + 𝐸 𝑝 Remplazando: 𝐸 𝑇 = 𝑝 2 2𝑚 +U 𝐸 𝑇 = 𝑝 2 2𝑚 +U 𝐸 𝑇 =− ℎ 2 2𝑚 ∗ 𝜕 2 𝜕𝑥 2 +U

Ecuación de Schrodinger - Concepto de Sistema Cuántico - Ahora se procede a añadir la función de onda a la ecuación de lo cual se obtiene: 𝐸 𝑇 𝜑=− ℎ 2 2𝑚 ∗ 𝜕 2 𝜕𝑥 2 𝜑+U𝜑 𝐸 𝑇 𝜑=− ℎ 2 2𝑚 𝜑 " +U𝜑 2𝑚𝐸 𝑇 𝜑 ℎ 2 =− 𝜑 " +U𝜑 2𝑚 ℎ 2 𝜑 " − 2𝑚 ℎ 2 U𝜑− 𝐸 𝑇 𝜑 =0 𝜑 " − 2𝑚 ℎ 2 𝐸 𝑡 𝜑−𝑈𝜑 =0 𝜑 " − 𝐾 2 𝜑=0

Definir: 𝐷= 𝑑 𝑑𝑥 𝐷 2 = 𝑑 2 𝑑 𝑥 2 Reemplazar: 𝐷 2 + 𝑘 2 𝛹=0 Factorizar: 𝐷+𝑖𝑘 𝐷−𝑖𝑘 𝛹=0 Por lo tanto se tienen dos posibilidades: 𝜕 𝜕𝑥 +𝑖𝑘 𝜑 1 =0 𝜕 𝜕𝑥 −𝑖𝑘 𝜑 2 =0 𝜕 𝜕𝑥 𝜑 1 =−𝑖𝑘 𝜑 1 𝜕 𝜕𝑥 𝜑 2 =𝑖𝑘 𝜑 2 𝜕 𝜑 1 𝜑 1 =−𝑖𝑘𝜕𝑥 𝜕 𝜑 2 𝜑 2 =−𝑖𝑘𝜕𝑥 𝜑 1 2 =𝐴 𝑒 𝑖𝑘𝑥 𝜑 2 2 =𝐵 𝑒 −𝑖𝑘𝑥 Función 1: 𝐷+𝑖𝑘 𝛹=0 Función 2: 𝐷−𝑖𝑘 𝛹=0 Por medio de la aplicación de ecuaciones diferenciales, se obtienen dos soluciones. La combinación lineal de estas soluciones nos darán la solución de la ecuación de Schrödinger. Esta ecuación contiene toda la información del sistema cuántico. 𝜑= 𝐴 𝑒 𝑖𝑘𝑥 + 𝐵 𝑒 −𝑖𝑘𝑥 =𝐴𝑠𝑖𝑛 𝑘𝑥 +𝐵𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑥)