FUNCIÓN DERIVADA DÍA 40 * 1º BAD CS

FUNCIÓN DERIVADA FUNCIÓN DERIVADA Si f es una función derivable en un intervalo (a,b) є R, la función derivada de f es la que a cada x ε (a,b) le hace corresponder la derivada de f en dicho punto. Esta función se designa por f ’(x) o D f(x) f (x + h) – f (x) f `(x) = lím -------------------- h  0 h La función derivada es una función y por tanto una expresión algebraica

EJEMPLO DE APLICACIÓN Sea la función y = - x2 + 4x Hallar la función derivada. f(x+h) – f(x) f ’(x) = lím ----------------- = h0 h - (x+h)2 + 4.(x+h) – ( - x2+ 4x) = lím ---------------------------------------- = - x2 -2hx -h2 + 4x + 4h + x2 - 4x = lím ---------------------------------------- = - 2hx + 4h - h2 = lím --------------------- = - 2.x + 4 h0 h f ’(x) = - 2.x + 4 m<0 m=0 m>0 2 4

EJEMPLO DE APLICACIÓN Sea la función y = - x2 + 4x Su función derivada es: f ’(x) = - 2.x + 4 Comprobemos: f ’(1) = - 2.1 + 4 = + 2 > 0 f ’(2) = - 2.2 + 4 = 0 f ’(3) = - 2.3 + 4 = - 2 < 0 Efectivamente la función derivada es tal que nos proporciona el valor de la derivada (pendiente) de la función en cualquier punto de la misma. m<0 m=0 m>0 2 4

DERIVADA Y FUNCIÓN DERIVADA Sea f(x) = x2 Calculemos la función derivada. f ‘ (x) = 2.x , que es otra función. La función derivada es otra función. Calculemos la derivada de la función en un punto, en x=2 f ‘ (x) = 2.x ,, f ‘ (2) = 2.2 = 4 La derivada de la función en un punto es un cardinal ( un número ). La derivada de una función cuadrática es una función lineal: y la derivada de una función lineal es una función constante. f(x) = x2 y=4 f ‘ (x) = 2.x x=2

DERIVADA Y PENDIENTE. Ejemplo 1 Sea f(x) = x2 Calculemos la función derivada. f ‘ (x) = 2.x , que es otra función. En x=2 f ‘ (2) = 2.2 = 4 , que es la pendiente de la recta tangente en x=2 La ordenada valdrá: y= 22 = 4 La ecuación de la recta tangente será: y=mx+n Sustituyendo los valores conocidos: 4=4.2+n De donde obtenemos n = 4 – 8 = – 4 La ecuación de la recta tangente en el punto de abscisa x=2 será: y= 4.x – 4 f(x) = x2 y=4 f ‘ (x) = 2.x x=2

Ejemplo 2 y Ejemplo 3 Sea f(x) = – 5.x2 + 3x – 2 Hallar la ecuación de la recta tangente en el punto de abscisa x = 1 Calculemos la función derivada: f ‘ (x) = – 10.x + 3 En x=1  f ‘ (1) = – 10.1 + 3 = – 7 , que es la pendiente de la recta tangente. La ordenada valdrá: y= – 5.12 + 3.1 – 2 = – 4 La ecuación de la recta tangente será: y=mx+n Sustituyendo valores: – 4 = – 7.1 + n  n = 7 – 4 = 3 La ecuación de la recta tangente es: y = – 7.x + 3 Sea f(x) = ln (x + 3) Hallar la ecuación de la recta tangente en el punto de abscisa x = - 2 f ‘ (x) = 1 / (x + 3)  f ‘ (-2) = 1 / ( - 2 +3 ) = 1 / 1 = 1  m = 1 La ordenada valdrá: y= ln(-2+3) = ln 1 = 0 y=m.x+n  0 = 1.(-2) + n  n = 2 La ecuación de la recta tangente es: y = x + 2