MOVIMIENTO CIRCULAR

Un cuerpo describe un movimiento circular cuando gira alrededor de un punto fijo central llamado Eje de rotación. Por ejemplo, la rueda de la fortuna.

Movimiento en una trayectoria circular De este tipo simple de movimiento se deriva El movimiento Circular uniforme Movimiento Uniformemente acelerado

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME Cuando un objeto que se mueve en una trayectoria circular con y con rapidez constante

Propiedades del Movimiento circular uniforme Trayectoria circular. El periodo (T) no cambia Gira con la misma velocidad angular 𝝎 La magnitud de la velocidad (rapidez 𝑣) permanece constante. La velocidad siempre tiene una dirección tangente al círculo (velocidad tangencial 𝑣 𝑡 )

MAGNITUDES DEL MOVIMIENTO CIRCULAR EL PERIODO (T) es el tiempo que tarda un cuerpo en dar una vuelta completa. LA FRECUENCIA (f) es el número de vueltas que realiza un cuerpo por unidad de tiempo.

Movimiento circular uniforme Propiedades: ¿El objeto está acelerado o no? La magnitud de la velocidad (rapidez) es constante. La dirección de la velocidad cambia. La velocidad es un vector: Si la dirección de un vector cambia, el vector cambia. 𝑎 = ∆ 𝑣 ∆𝑡 ≠0 Entonces, si hay aceleración (centripeta). FIS109C – 2: Física para Ciencias 1er semestre 2014

MAGNITUDES DEL MOVIMIENTO CIRCULAR Relación que existe entre el periodo y la frecuencia de un cuerpo en revolución:

MAGNITUDES DEL MOVIMIENTO CIRCULAR Un radián es el ángulo en que el arco correspondiente tiene una longitud igual a la del radio con la que se ha trazado dicho arco.

Propiedades del Movimiento circular uniforme Rapidez tangencial de un círculo de radio 𝒓 con período 𝑻 es : 𝒗 𝒕 = 𝟐𝝅𝒓 𝑻 Velocidad angular 𝝎: 𝝎= 𝟐𝝅 𝑻

Movimiento circular uniforme 𝑣 𝑡 = 2𝜋𝑟 𝑇 La rapidez de un objeto rotando en un círculo de radio 𝑟 con período 𝑇: La frecuencia de oscilación 𝑓: La velocidad angular 𝜔: Unidades 𝑓= 1 𝑇 𝑟𝑒𝑣𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 1 𝑠 𝜔= 2𝜋 𝑇 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑟𝑎𝑑 𝑠 360 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠=2𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠

Aceleración Centrípeta Por triángulos equivalentes ∆ 𝑟 𝑟 = ∆ 𝑣 𝑣 ∆ 𝑣 es perpendicular a 𝑣 1 𝑎 = ∆ 𝑣 ∆𝑡 𝑎 = 𝑣 𝑟 ∆ 𝑟 ∆𝑡 𝑎 =− 𝑣 2 𝑟 𝑟 𝑎 𝑐 = 𝑣 2 𝑟 Entonces la aceleración centrípeta está dirigida hacia el centro del círculo.

Aceleración centrípeta Responsable de que la trayectoria del móvil sea una circunferencia Está dirigida hacia el centro de la circunferencia. Las unidades son las mismas que las de la aceleración lineal. En el SI, las unidades de v²/R son ( 𝒎 𝒔 ) 𝒎 = 𝒎²/𝒔² 𝒎 =𝐦/𝐬²

Aceleración Tangencial y Radial Una partícula moviéndose a lo largo de una trayectoria curva como aparece en la figura tiene una aceleración que cambia con el tiempo. 𝒂 𝒕 radial 𝒂 𝒓 𝒂 𝑎 = 𝑎 𝑟 + 𝑎 𝑡 𝒂 𝒓 𝒂 𝒕 tangencial 𝒂 𝒂 𝒕 provoca un cambio en la rapidez de la partícula: 𝒂 𝒓 provoca un cambio en la dirección del vector velocidad: 𝑎 𝑡 = ∆ 𝑣 ∆𝑡 𝑎 𝑟 = 𝑣 2 𝑟 𝑎= 𝑎 𝑟 2 + 𝑎 𝑡 2 El módulo de la aceleración 𝑎 será:

Aceleración Tangencial y Radial En el movimiento circular uniforme es un caso especial de un movimiento a lo largo de una trayectoria curva: 𝑣 es constante ( 𝑎 𝑡 es nula), 𝑎 es siempre radial. En un movimiento en una dimensión: La dirección de 𝑣 es constante ( 𝑎 𝑟 es nula). 𝑎 𝑡 puede no ser nula. FIS109C – 2: Física para Ciencias 1er semestre 2014

Resumen Propiedades de un movimiento circular uniforme. Aceleración centrípeta en un movimiento circular uniforme. Aceleraciones tangenciales y radiales en una trayectoria curva. 𝜔= 2𝜋 𝑇 𝑣 𝑡 = 2𝜋𝑟 𝑇 𝑎 𝑐 = 𝑣 2 𝑟 𝑎= 𝑎 𝑟 2 + 𝑎 𝑡 2 𝑎 𝑡 = ∆ 𝑣 ∆𝑡 𝑎 𝑟 = 𝑣 2 𝑟

Ejemplo: Aceleración Centrípeta Una pelota en el extremo de un cordel gira uniformemente en un círculo con un radio de 0,60 m. La pelota efectúa 2,0 revoluciones por segundo. ¿Cuál es su aceleración centrípeta?

PRINCIPIOS FUNDAMENTALES MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME La velocidad angular es la relación que existe entre el desplazamiento angular, expresado en radianes, y el intervalo de tiempo que tarda el móvil en realizar dicho desplazamiento.

PRINCIPIOS FUNDAMENTALES MOVIMIENTO CIRCULAR La aceleración angular es la relación que existe entre el cambio de la velocidad angular y el intervalo de tiempo que tarda en realizar dicho cambio.

PRINCIPIOS FUNDAMENTALES MOVIMIENTO CIRCULAR LAS ECUACIONES DEL MOVIMIENTO (Aceleración angular constante)

Fuerza centrípeta Se define fuerza centrípeta como la fuerza dirigida hacia el centro que se requiere para mantener un movimiento circular uniforme.

Angulo: Es la abertura comprendida entre dos radios que limitan un arco de circunferencia. Radian: Es el ángulo central que corresponde a un arco de longitud. La equivalencia de un radian en grados sexagesimales se determina sabiendo que : I rad= 360°=180° = 57.3° = 57°18’ 2п п

Angulo y Velocidad angular El ángulo abarcado en un movimiento circular es igual al cociente entre la longitud del arco de circunferencia recorrida y el radio. La longitud del arco y el radio son magnitudes de longitud, por lo que el desplazamiento angular es el radian. La Velocidad angular es la variación del desplazamiento angular por unidad de tiempo: W= d1 dt

PERIODO Y FRECUENCIA PERIODO FRECUENCIA Es el tiempo que tarda un cuerpo en dar una vuelta completa o en completar un circulo. Las unidades del periodo son : T= Segundos transcurridos 1 ciclo FRECUENCIA Es el numero de vueltas, revoluciones o ciclos que efectúa un móvil en un segundo. F= Numero de ciclos 1 Segundo

Velocidad Angular La velocidad angular se representa: W=  t Donde: W= Valor de la velocidad angular en rad/s = Desplazamiento angular en rad. T= tiempo que efectúa el desplazamiento en segundos (s) Entonces el valor de la velocidad angular se puede expresar, respecto al desplazamiento y al cambio de tiempo de esta forma : W=∆= 2 -1 ∆t t2-t1

VELOCIDAD ANGULAR MEDIA También la podemos determinar si conocemos su periodo (T). La expresión que utiliza es: w= 2 rad = 2 en rad/s T T VELOCIDAD ANGULAR MEDIA Cuando la velocidad angular de un cuerpo es constante podemos determinar la magnitud de la velocidad angular media al conocer la velocidad angular inicial y su velocidad angular final: Wm = Wf – Wo 2

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME (MCU) Este movimiento se produce cuando un cuerpo con velocidad angular constante describe ángulos iguales en tiempos iguales. En un MCU se mantiene constante su magnitud pero no su dirección ,toda vez que esta siempre se conserva tangente a la trayectoria del cuerpo. La velocidad lineal o tangencial representa la velocidad que llevara un cuerpo al salir disparado en forma tangencial a la circunferencia que describe.

Interpretación de las Graficas de desplazamiento angular-tiempo y Velocidad angular-tiempo en el MCU. En el movimiento circular uniforme de un cuerpo se obtuvieron los datos contenidos en el cuadro: 1.- Graficar los valores del desplazamiento angular en función del tiempo, interpretar la pendiente y obtener el valor de dicha pendiente. 2.- Graficar la magnitud angular del cuerpo en función del tiempo e interpretar el sig. físico del área.  (rad) Tiempo (s) Desplazamiento angular =(rad) 1 9 2 18 3 27 4 36 5 45 50 40 30 20 10 t(s) 1 2 3 4 5

Solución =wt Calculo del valor de la pendiente recta: a)Como se observa la pendiente de la recta representa la magnitud de la velocidad angular. w= ∆ = 36rad- 18rad W=18rad = 9rad/s ∆t 4s- 2s 2 s b) Como la velocidad no cambia su magnitud graficamos el mismo valor cada segundo 1 2 3 4 5 20 1O =wt W(rad/s) t(s) El área del rectángulo representa el producto wt, el cual equivale al valor desplazamiento angular. Por lo tanto el valor de desplazamiento será : =wt= 9rad/s x 5s = 45 rad.

La pendiente de la recta representa la magnitud de la velocidad angular de un cuerpo (w) (RAD) t(s) 10 20 30 40 50 1 2 3 4 5 -(w) ∆ ∆t

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE ACELERADO Este movimiento se presenta cuando un móvil con trayectoria circular tiene una aceleración angular que permanece constante. Ecuaciones utilizadas en el movimiento circular uniformemente acelerado (MCUA) 1 ( en lugar de d) 2 (w en lugar de v) 3.- (β en lugar de a ).

1.-Para calcular el valor de los desplazamientos angulares: 1.1 Si el cuerpo parte del reposo, su velocidad angular inicial es 0 y las anteriores ecuaciones se reducen a : 1.-  =βt² 2 2.- = Wf² 2β 3.-  = Wf t 1.1 =Wot+βt² 2 2. = Wf²- Wo² 2β 3.-  =Wf- Wo t 1)

Velocidad Angular Instantánea Representa el desplazamiento angular de un cuerpo en un tiempo muy pequeño que casi tiende a cero. Winst = lim ∆ ∆t 0 ∆t Aceleración Angular Media Cuando durante el movimiento circular de un cuerpo su velocidad angular no permanece constante, si no que sufre una aceleración angular.: Βm = wt - w0 =∆w tf - t0 ∆t

Donde Βm = Valor de la aceleración angular media en rad/s² Wf =Magnitud de la velocidad angular final en rad/s W0= Magnitud de la velocidad angular inicial en rad/s ∆t= Tiempo durante el cual varia la velocidad en segundos (s) ACELERACION ANGULAR INSTANTANEA Cuando el movimiento acelerado de un cuerpo que sigue una trayectoria circular y el intervalo de tiempo es tan pequeño que tiende a cero, la aceleración angular del cuerpo será la instantánea.

PROBLEMAS Sustitución y resultado: Β= 2512 rad/s = 1674.66 rad/s² 1.- Un engrane adquirió una velocidad angular cuyo valor es de 2512 rad/s en 1.5 s ¿Cuál fue su aceleración angular? DATOS: Wf= 2512 rad/s T= 1.5 s Β = ? Formula: Β = w t Sustitución y resultado: Β= 2512 rad/s = 1674.66 rad/s² 1.5 s

¿Cuál fue el valor de su aceleración media? 2.- Un mezclador eléctrico incremento el valor de su velocidad angular de 20 rad/s a 120 rad/s en 0.5 s. Calcular: ¿Cuál fue el valor de su aceleración media? ¿Cuál fue el valor de su desplazamiento angular en ese tiempo? Solución. Datos: Wo= 20 rad/s Wf= 120 rad/s T= 0.5 s a)Βm =? b) =? b) =Wot+βt² 2 Formulas: βm= wf- Wo t

Sustitución y resultados: a)βm= 120 rad/s- 20 rad/s = 200 rad/s² 0.5 s b)  =20 rad/s x 0.5+ 200 rad/s² (0.5s)² 2 =10 rad + 25 rad = 35 rad.

Ejemplo Un pelota colgada de una cuerda de 0.5 m de longitud se balancea en forma circular bajo la influencia de la gravedad. Cuando la cuerda forma un ángulo de 20° con la vertical, la pelota tiene una rapidez de 1,5 m/s. Encontrar: La magnitud de la aceleración radial en ese instante. La magnitud de la aceleración tangencial en ese instante. La magnitud y dirección de la aceleración total en ese instante. FIS109C – 2: Física para Ciencias 1er semestre 2014