El razonamiento algebraico como aritmética generalizada Implica la construcción de los conceptos propios de la aritmética como resultado de procesos de generalización Algebra es una aritmética pero con letras en vez de números Las bases del razonamiento algebraico se construyan desde los primeros años de la educación básica Los conceptos aritméticos se hace a través de procesos relativos a la generalización reconocimiento de invariantes estructurales comunes a familias de situaciones

La generalización y la construcción de los conceptos matemáticos El álgebra y quizá todo lo perteneciente al mundo de las matemáticas, se centra en la generalización de patrones; generalizar es una de sus actividades fundamentales la generalización es el proceso fundamental para acceder a los respectivos aprendizajes la conceptualización en matemáticas, como en cualquier otra área, consiste en elaborar los medios intelectuales de tratar progresivamente situaciones cada vez más y más complejas(Vergnaud, 1997, p 7).

La generalización y la construcción de los conceptos matemáticos Una situación dada, no podría poner en juego, en general, todas las propiedades de un concepto..., se hace necesario la referencia a una diversidad de situaciones. Una situación dada no pone en juego habitualmente un solo concepto ... La formación de un concepto, en particular si uno lo considera a través de la actividad de resolución de problemas, tarda en general un gran período de tiempo. Para el aprendizaje de un determinado concepto, no es suficiente con tratar una sola situación, sino que por el contrario, es necesario el tratamiento de una gran variedad de situaciones

La generalización y la construcción de los conceptos matemáticos Un concepto nunca está aislado, sino en estrecha conexión con otros conceptos matemáticos. Dado que el proceso de conceptualización implica el tratamiento de múltiples situaciones, se hace necesaria una articulación de estas situaciones para formar una unidad coherente que permita el aprendizaje deseado en los alumnos implica coordinar situaciones en diferentes contextos, sino también, a propósito de una misma situación, articular distintas formas de representación

La igualdad como relación de equivalencia Desde el punto de vista de los sistemas numéricos, el signo igual es el denotante dela relación de equivalencia En el campo de conceptualización de los alumnos la idea que el signo igual es el indicador de que lo escrito a la derecha del mismo es el resultado de realizar la operación que está expresada en lado izquierdo Por ejemplo, 5+3=8 el símbolo “igual” generalmente significa que 8 es el resultado de sumar 5 y 3, y no que 8 es equivalente a 5+3, o lo que es mas importante aun, que 5+3 es otra forma de representación de 8. En este sentido, el signo “igual” es más un operador que un relator. De esta forma, expresiones tales como, 5 + 3 = 6 + 2 no solo son poco utilizadas, sino que los estudiantes no les encuentran mucho sentido, y la comparación la realizan en términos de que ambos lados de la igualdad dan el mismo resultado

La igualdad como relación de equivalencia No asumir la igualdad como una relación de equivalencia también se evidencia en la lectura unidireccional, de izquierda a derecha de la expresión simbólica. Así por ejemplo, la expresión 5 (3 + 2) = 5 x 3 + 5 x 2, sería diferente de: 5 x 3 + 5 x 2 = 5 (3 + 2).

La igualdad como relación de equivalencia Cuando este tipo de expresiones son algebraicas, la lectura unidireccional de la relación de equivalencia es fuente de multiples equivocaciones en los estudiantes, y de tratamiento por parte del docente (a+b)(a+b)=a2 + 2ab +b2, (1) a2 + 2ab +b2= (a+b)(a+b), (2) (1): Se llama (2): Se llama comprender la igualdad implica trabajar sobre un aspecto fundamental del razonamiento matemático: la reversibilidad en los procesos

La igualdad como relación de equivalencia un tratamiento en aritmética del signo igual que propenda por desarrollar su conceptualización ligada a la relación de equivalencia debe partir, de un lado, del reconocimiento de las propiedades de la relación de equivalencia: Reflexiva: A = A Simétrica: Si A = B entonces B = A Transitiva: Si A = B y B = C entonces A = C

La igualdad como relación de equivalencia Así por ejemplo, a través de una actividad en la que se establezcan las distintas descomposiciones de 6 se llegará a las siguientes igualdades: 5+1 = 4+2 = 3+3 = 2 + 4 = 1+ 5 a partir de los cuales se puede establecer que el conjunto de expresiones son equivalentes no solo por que tienen igual resultado, sino sobre todo, porque en el paso de una expresión a otra, lo que pierde el primer sumando, es ganado por el otro. Este análisis centra la mirada no en la operación que se debe efectuar, sino en el análisis de lo que permanece constante (invariantes estructurales) y lo que cambia (la variación), que para la situación, expresa la compensación entre los sumando de las expresiones aritméticas comparadas

La igualdad como relación de equivalencia Por ejemplo, ante una situación como la siguiente: “si un campo rectangular mide A metros de largo y B metros de ancho, ¿Cuánto mide su perímetro?”; los alumnos no aceptan que la expresión 2(A+B) sea la solución, llevándolos a obtener respuestas como 2AB, o 4AB entre otras. Es más, si se les expresa la solución como 2A+2B, entonces no reconocen la equivalencia entre ambas expresiones En esta situación se ponen de manifiesto varias dificultades, como las relacionadas con la capacidad de operar con incógnitas

Las propiedades de los números y de sus operaciones como un problema de generalización Tradicionalmente la aritmética escolar tiene un desarrollo curricular que presenta el concepto de número de manera aislada de las relaciones y operaciones que se pueden hacer con ellos, y de las situaciones problema en las que intervienen los números. Prueba de esta separación es que cada uno de estos aspectos corresponden a temáticas distintas en el currículo, como por ejemplo, los conceptos de número primo, divisor y múltiplo son estudiados como temas separados, cuando en realidad guardan una gran relación entre sí. Este tipo de tratamiento curricular desconoce que la noción de sistema numérico, no solo está conformado por los elementos (es decir por los números a secas), sino por las relaciones y las operaciones

Las propiedades de los números y de sus operaciones como un problema de generalización El aprendizaje del concepto de número no puede darse por fuera de las relaciones y las operaciones con las que constituye un sistema numérico, y de las situaciones problemas en las que el número tiene sentido. saber el “cinco” no es solo, determinar el tamaño de una colección de cinco elementos, o que una determinada magnitud mide 5 unidades. Sino también reconocer que el cinco es 3+2, 4+1, 10/2, además que 2<5, 5>3 etc. Igualmente implica saber utilizarlo con sentido para interpretar las situaciones en que se presenten, tanto de la vida real como de las matemáticas o de las otras disciplinas escolares. “aprender los números es comprender sus propiedades, sus relaciones y operaciones”