DERIVADA DÍA 41 * 1º BAD CT

TASA DE VARIACIÓN MEDIA Dada una función f definida en un intervalo [a,b], se llama TASA DE VARIACIÓN MEDIA de la función f en [ a,b ] al cociente: f (b) - f(a) TVM = ----------------- b - a Como se observa en el valor de la TVM no influye el comportamiento de la función a lo largo del intervalo. Pueden existir diversas funciones que tengan la misma TVM en el mismo intervalo. b – a es la variación o incremento de x, Δx. f(b) – f(a) es la variación o incremento de f(x), Δf(x) o Δy. TVM = Δy / Δx = m , pendiente del segmento que une los extremos de la función, o sea (a, f(a)) con (b, f(b)).

Incremento de una función (1) Sea la función f(x) = x  Verde Sea la función g(x) = x2  Rojo Ambas funciones presentan el mismo incremento de x: Δy = f(2) – f(0) = 2 Δy = g(2) – g(0) = 22 – 0 = 4 TVM de f(x): TVM = Δy / Δx = 2 / 2 = 1 TVM de g(x): TVM = Δy / Δx = 4 / 2 = 2 El crecimiento medio de g(x) es el doble que el de f(x). y 4 a=0 1 b=2 x

Incremento de una función (2) Sea la función f(x) = x / 2 Verde Sea la función g(x) = x2/ 8  Rojo Sea la función h(x) = √x  Azul Ambas funciones presentan en el intervalo cerrado [0, 4] el mismo incremento de la función: Δy = f(4) – f(0) = 2 Δy = g(4) – g(0) = 2 Δy = h(4) – h(0) = 2 Las TVM de ambas son: TVM = Δy / Δx = 4 / 4 = 1 Sin embargo está muy claro que su comportamiento en dicho intervalo en muy diferente. y f(4)=g(4)=h(4)=2 a=0 b=4 x

Ejercicio Sea la función f(x) = x3 – 4x Hallar la TVM de la función en: [-4,-2], [0,2] y [-1, 1] En [-4,-2] f (- 4) - f(-2) - 48 - 0 TVM = ----------------- = --------- = 24 - 4 – (-2) - 2 En [0, 2] f (2) – f (0) 0 - 0 TVM = ----------------- = --------- = 0 2 – 0 2 En [-1, 1] f (1) – f (-1) - 3 - 3 TVM = ----------------- = --------- = - 3 1 – (-1) 2 y=f(x) -2 -1 0 1 2 x

TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA Dada una función f definida en un entorno del punto a, se llama: Tasa de variación INSTANTÁNEA de la función f en x = a al límite de las tasas de variación media cuando los intervalos considerados son cada vez más pequeños: f (a + Δx) – f (a) TVI = lím ------------------------- Δx 0 Δx y 2 h(x) = √x f(x) = x / 2 g(x) = x2/ 8 a=0 4 x

y 2 Tasa de variación INSTANTÁNEA f (a + Δx) – f (a) TVI = lím ------------------------- Δx 0 Δx En las proximidades de a=0 (0+ Δx )/2 – 0/2 TVI [f(x)]= lim ---------------------- = ½ Δx 0 Δx (0+ Δx)2/2 – 02/2 TVI [g(x)]= lim ------------------- = h = 0 √(0+ Δx) – √0 TVI [g(x)]= lim -------------------- = √Δx √Δx √Δx 1 1 = lim ------- = lim -------------- = ------- = --- = oo Δx 0 Δx Δx0 Δx √Δx √Δx 0 h(x) = √x f(x) = x / 2 g(x) = x2/ 8 a=0 4 x

DERIVADA EN UN PUNTO DE UNA FUNCIÓN Sea la función y = f(x) que se muestra en el gráfico mediante una curva. Si tomamos los puntos Po y P1 y los unimos mediante una recta, dicha recta será secante a la función que representa la curva trazada. La pendiente m de dicha recta será: Δ y y1 - yo m1 = ------ = ------------ , Δ x x1 - xo es decir el incremento de la ordenada entre el incremento de la abscisa Imaginemos que el punto P1 se traslada hasta el punto P2. P1 y1 P2 Po yo xo x1

Tanto la abscisa como la ordenada han cambiado, han disminuido de valor, y la recta secante también ha variado de posición. La pendiente m de la nueva secante será: Δ y y2 - yo m2 = ------ = ------------- , Δ x x2 - xo es decir el incremento de la ordenada entre el incremento de la abscisa. Observar que si el nuevo punto Pn tomado se va acercando más y más al punto Po, tanto el incremente de la ordenada como el de la abscisa tiende a cero. P1 P2 y2 Po yo xo x2

La recta secante terminará convertida en una RECTA TANGENTE, pues será tangente a la función en el punto estudiado Po = (xo, yo) La pendiente de esa recta tangente será: yn - yo 0 m = lím ------------- = [----] xxo xn - xo 0 f(xo+h) – f(xo) 0 m = lím ------------------- = ---- h0 h 0 A ese límite concreto, si existe, es lo que llamamos DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO ( en Po ) Se denota así: f ’(xo) y1 y2 Po yo xo x2 x1

Ejemplos EJEMPLO 1 Sea la función y = 3 x + 4 Hallar f ´(1) f(1+h) – f(1) 3(1+h) + 4 – ( 3.1+ 4) f ’(1) = lím ----------------- = lím ------------------------------ = h0 h h0 h 3 + 3.h + 4 – 3 – 4 3,h = lím ----------------------------- = lim ------- = 3 h0 h h0 h f ’(1) = 3

Ejemplos EJEMPLO 2 Sea la función y = – 2.x + 3 Hallar f ´(3) f(3+h) – f(3) – 2 (3+h) + 3 – ( – 2.3+ 3) f ’(3) = lím ----------------- = lím ------------------------------------- = h0 h h0 h – 6 – 2h + 3 + 6 – 3 – 2.h = lím --------------------------- = lim --------- = – 2 h0 h h0 h f ’(3) = – 2

Ejemplos EJEMPLO 3 Sea la función y = - x2 + 4x Hallar f ’(1) f(1+h) – f(1) – (1+h)2 + 4.(1+h) – (– 1+ 4) f ’(1) = lím ----------------- = lím ---------------------------------------- = h0 h h0 h – 1– 2.h – h2 + 4 + 4h + 1 – 4 = lím ----------------------------------------- = h0 h 2h - h2 = lím ---------- = 2 – h = 2 – 0 = 2  f ’(1) = 2 h0 h

Ejemplos EJEMPLO 4 Sea la función y = 3.x2 – 4 Hallar f ’(2) f(2+h) – f(2) 3(2+h)2 – 4 – (3.22 – 4) f ’(2) = lím ----------------- = lím --------------------------------- = h0 h h0 h 3.(4 + 4h + h2) – 4 – 12 + 4 = lím -------------------------------------- = h0 h 12h + 3h2 = lím ------------- = 12 + 3h = 12 + 3.0 = 12  f ’(2) = 12 h0 h

PENDIENTE Y DERIVADA Observar la gráfica de la función. La tangente a la gráfica en x=b será una recta horizontal y por tanto de pendiente m=0 Conclusión: Aquellos puntos de la función cuya derivada valga cero, serán los Máximos (o los Mínimos) relativos de dicha función. La recta tangente a la gráfica en x=a tiene pendiente positiva. La recta tangente a la gráfica en x=c tiene pendiente negativa En aquellos puntos cuya derivada sea negativa (m<0), la función será DECRECIENTE. Y si su derivada es positiva (m>0), la función será CRECIENTE. m<0 m=0 m>0 0 a b c

EJEMPLO DE APLICACIÓN Sea la función y = - x2 + 4x Hallar la recta tangente y la recta normal en x=1 f(1+h) – f(1) f ’(1) = lím ----------------- = h0 h - (1+h)2 + 4.(1+h) – ( - 1+ 4) = lím ----------------------------------- = -1-2h-h2 + 4 + 4h + 1 - 4 = lím --------------------------------- = 2h - h2 = lím ---------- = 2 – 0 = 2 h0 h f ’(1) = m = 2 > 0  Creciente 1 Sea la función y = - x2 + 4x m(tangente) = 2 en x=1 f(1)= – 1 + 4 = 3 Por la ecuación punto-pendiente: Recta tangente: y – 3 = 2.(x – 1) Recta normal: y – 3 = (– ½) .(x – 1)

… EJEMPLO DE APLICACIÓN Sea la función y = - x2 + 4x Hallar la recta tangente y la recta normal en x=3 f(3+h) – f(3) f ’(3) = lím ----------------- = h0 h - (3+h)2 + 4.(3+h) – (- 9+ 12) = lím ----------------------------------- = -9-6h-h2 + 12 + 4h + 9 - 12 - 2h - h2 = lím ---------- = - 2 – 0 = - 2 h0 h f ’(3) = m = - 2 < 0  Decreciente 3 Sea la función y = - x2 + 4x m(tangente) = -2 en x=3 f(3)= – 9 + 12 = 3 Por la ecuación punto-pendiente: Recta tangente: y – 3 = – 2.(x – 3) Recta normal: y – 3 = ( ½) .(x – 3)

… EJEMPLO DE APLICACIÓN Sea la función y = - x2 + 4x Hallar la recta tangente y la recta normal en x=2 f(2+h) – f(2) f ’(2) = lím ----------------- = h0 h - (2+h)2 + 4.(2+h) – (- 4+ 8) = lím ----------------------------------- = - 4 - 4h -h2 + 8 + 4h + 4 - 8 - h2 = lím ---------- = - h = - 0 h0 h f ’(2) = m = 0  Máx o Mín 2 Sea la función y = - x2 + 4x m(tangente) = 0 en x = 2 f(2)= – 4 + 8 = 4 Por la ecuación punto-pendiente: Recta tangente: y – 3 = 0.(x – 2) ,, y – 3 = 0 ,, y = 3 Recta normal: y – 3 = ( 1/0) .(x – 2) ,,0 = x – 2 ,, x=2