Geometría Analítica

Gráficas de ecuaciones en el plano RECUERDE: El plano cartesiano proporciona una manera geométrica de representar ecuaciones en dos variables. Por ejemplo: Representa la ecuación y-2x+4=0 Representa la ecuación y=x²-2x 2

Gráficas de ecuaciones en el plano Las intersecciones de las gráficas de ecuaciones en el plano con los ejes coordenados x y y se llaman intersectos. Ejemplo ¿Cuáles son los puntos de intersección de la gráfica con los ejes coordenados? Eje x: P(2, 0) Eje y: P(0, -4) 3

Gráficas de ecuaciones en el plano Ejemplo ¿Cuáles son los puntos de intersección de la gráfica con los ejes coordenados? Eje x: (2, 0), (0, 0) Eje y: (0, 0) OJO!! En general las intersecciones con el eje x son de la forma (x, 0) y con el eje y son de la forma (0, y) 4

Gráficas de ecuaciones en el plano Intersecciones de las gráficas con los ejes coordenados Eje Procedimiento Gráfica X Se hace y=0 y se resuelve la ecuación para x y Se hace x=0 y se resuelve la ecuación para y 5

Gráficas de ecuaciones en el plano Ejemplo1. Determinar las intersecciones x y y de la gráfica de y=2x-4. Intersecciones eje x. Se hace y=0 y se despeja x: 0 = 2x-4 2 = x La intersección es (2,0) . Intersecciones eje y. Se hace x = 0 y se despeja y: y = 2(0) - 4 y = - 4. La intersección es (0,-4) . 6

Gráficas de ecuaciones en el plano Para determinar otros puntos de la gráfica de y = 2x-4, se dan otros valores a x, teniendo en cuenta que x puede tomar cualquier valor real. Tabla de valores x y 2 -4 1 -2 3 Se unen los puntos para formar la gráfica. 7

Gráficas de ecuaciones en el plano Ejemplo2. Determinar las intersecciones x y y de la gráfica de y=x². Intersecciones. Se hace y=0 y se despeja x: 0=x Por lo tanto la intersección es (0,0) , OJO!! Este punto corresponde simultáneamente con las intersecciones en x y y. 8

Gráficas de ecuaciones en el plano OJO!! Los valores de x que puede tomar la ecuación y=x² son los números reales. Construimos la siguiente tabla: x y 2 4 -2 -1 1 Se unen los puntos y se obtiene la gráfica de una parábola 9

Gráficas de ecuaciones en el plano Otras gráficas de ecuaciones básicas son: Valores absolutos: y=| x – 3 | x puede tomar cualquier valor real x y 3 4 1 5 2 Int eje y Int eje x 10

Gráficas de ecuaciones en el plano Gráficas con radicales OJO!! Tenga en cuenta que: x y -2 2 4 Int eje y Int eje x 11

simetría Al observar la mariposa y el escarabajo, diremos que cada uno es simétrico, pues al trazar una línea recta en el centro de cada uno de ellos, y si se doblara el papel por esta línea, la parte que está a la derecha de la línea sería exactamente igual a la parte que está a la izquierda de esa misma línea, de tal manera que esas dos partes coincidan. 12

Simetría Axial DEFINICIÓN: Dada una recta l se llama simetría axial del eje l al movimiento que transforma un punto P en otro punto P' verificando:         a. El segmento PP' es perpendicular a l.         b. Los puntos P y P' equidistan del eje l.             Dicho de otra forma el eje l es la mediatriz del segmento PP'             Al punto P' se llama simétrico de P. 13

Simetrías en el plano cartesiano Simetría axial respecto al eje y. P' P P( x , y ) → P’(- x , y ) P(2,3) → P’(-2,3)

Simetrías en el plano cartesiano 2. Simetría axial respecto al eje x. P( x , y ) → P’( x,- y ) P(3,2) → P’(3,-2) P P'

Simetrías en el plano cartesiano 4. Simetría axial respecto a la recta y =x. P' P(x,y ) → P’(y,x ) P(3,2) → P’(2,3) P 16

Simetrías en el plano cartesiano Simetría central Dos puntos A y A’ se llaman simétricos en relación a otro punto C perteneciente al segmento AA’, cuando este lo divide en dos partes iguales. A C A′

Simetrías en el plano cartesiano 3. Simetría central respecto al origen o punto (0,0). P P(x,y ) → P’(-x,-y ) P(3,2) → P’(-3,-2) P'

Simetrías en el plano Con respecto al eje x. Si (x, y) está en la gráfica, (x, -y) también está. 19

Simetrías en el plano Con respecto al eje y. Si (x, y) está en la gráfica, (-x, y) también está. 20

Simetrías en el plano Con respecto al origen. Si (x, y) está en la gráfica, (-x, -y) también está. 21

Simetrías en el plano Ejemplo Solución Establecer si la siguiente gráfica tiene algún tipo de simetría. (1,0.5) Solución (0.3,0.2) (-0.3,-0.2) La gráfica es simétrica con respecto al origen ya que para cada (x,y) en la gráfica, (-x,-y) también está en la gráfica.. (-1,-0.5) 22