Tipos de Funciones Función lineal

Función Lineal su ecuación es : f(x) = m x + b, donde "b" es un número real al que se lo llama ordenada al origen y "m" (que ya lo conocemos) se denomina pendiente.

Grafica de una Función Lineal Elegimos dos puntos cualquiera, en este caso (1, 4) y (7, 6). Marcándolos en el gráfico, trazamos una línea punteada desde cada punto hasta sus coordenadas x e y. Así quedará determinado un triángulo rectángulo. Al punto más alejado del centro lo llamaremos (x1; y1); al otro lo llamaremos (xo; yo). Completemos según las coordenadas que elegidas: xo = 1,      yo = 4,       x1 = 7,      y1 = 6

Es importante notar que entre dos puntos cuales quiera que pertenezcan a la recta, puede trazarse un triángulo rectángulo, de manera que, la razón de sus catetos sea 1/3, el valor de la pendiente. Para poder calcular la ecuación de esta recta sólo nos falta saber el valor de la ordenada al origen "b" . La ecuación de la recta es: y = m x + b Elijamos uno de los puntos de la recta, (1, 4) y suplantemos " x e y " con ellos en la ecuación: 4 = m. 1 + b Hagamos lo mismo con el valor de "m" (la pendiente):

Graficar una recta Para graficar una recta se deben tener en cuenta la pendiente de la misma y la ordenada al origen. Grafiquemos la recta:   y = 3 x + 1 La ordenada al origen es (0, 1), es lo primero que ubicamos en el gráfico. A partir de ese punto aplicamos el concepto de pendiente, subimos tres (por que el valor es positivo, sentido positivo del eje y; de ser negativo bajaríamos) y corremos uno hacia la derecha (sentido positivo del eje de las x). Por esos dos puntos trazamos la recta.

Ejercicios 1) Determinar la ecuación de la recta que posee pendiente m = 2 y pasa por el punto (5; –1) Rta.: y = 2x – 11 2) Escribir las ecuaciones de las rectas determinadas por cada uno de los siguientes pares de puntos (0 ; 7) y (– 2 ; 1) Rta.: y = 3x + 7 3) Escribir las ecuaciones de las rectas que contienen a cada uno de los lados del triángulo cuyos vértices son : ( 2 ; 1); (0 ; 2) y (– 3 ; – 4) Rta.: y = – 2x + 2;  y = – x + 2;  y = x – 1 4) Escribir la ecuación de la recta paralela y perpendicular a  y = – ½ x + 1 que pase por el punto P = ( 4 ; 0) Rta.:   y = – ½ x + 2;    y = 2x – 8 5) Determinar la distancia entre los puntos (1;2) y (4;6) Rta.: 5

7) Hallar la distancia del punto (5 ; 1) a la recta y = – 2x + 1 Rta.: 4,47 (recomendación: hallar la perpendicular al punto, hallar la intersección entre ambas rectas y la distancia entre el punto encontrado y el dado). 8) La recta de ecuación y = 5x – 3 corta al eje x en el punto A, y corta al eje y en el punto B. Calcular la distancia entre A y B. Rta.: 3,02. 9) Determinar el área del triángulo formado por el origen de coordenadas, los puntos P = (0, 4) y Q = (– 3, 0). Rta.:  6. 10) En la empresa Liliputiense el empleado que recién ingresa cobra $ 450 y el empleado con cinco años de antigüedad recibe un sueldo de $ 560 . a) Hallar la ecuación del sueldo en función de la antigüedad. b) ¿Cuánto cobrará alguien con siete años de antigüedad. Rta.: a) y = 22x + 450; b) $ 604

Tipos de Funciones Función Cuadrática

Función cuadrática Todo número elevado al cuadrado da como resultado un valor de signo positivo. Es así que la ecuación   y = x2  tiene como dominio a todos los reales y como conjunto imagen los reales positivos incluido el cero. El valor mínimo (en la imagen) de esta función será para x = 0, obteniendo el punto (0, 0), al que denominaremos vértice de la parábola.

Para f(x) = x2 tenemos que el:  Dom: R ,  Img. : [0, + ∞), vértice (0, 0). Si sumamos a la ecuación cuadrática (x2) una unidad, o sea, "x2 + 1", la imagen se desplaza "uno" hacia arriba, de manera que el intervalo queda definido desde [1, + ∞). Si restamos a la ecuación cuadrática (x2) una unidad, o sea, "x2 - 1" la imagen se desplaza "uno" hacia abajo, de manera que el intervalo queda definido desde [-1, + ∞).

Podemos preguntarnos ahora ¿qué sucedería si eleváramos un binomio (dos términos con letras y números) al cuadrado?. Por ejemplo (x + 1)2. Como no sumamos "ningún número al cuadrado" la función no se desplaza en el eje de las "y", por lo tanto la segunda coordenada del vértice sigue siendo cero. Con respecto a la primer coordenada, para x2 era "0", ese valor lo obtendremos si x = -1, de esa manera la parábola se desplaza "uno" hacia la izquierda. Pongamos otro ejemplo, (x - 1)2. Por la misma justificación, la parábola se desplaza "uno" a la derecha.

Grafica de una función de segundo grado Para graficar una función cuadrática se deben tener por lo menos tres puntos, "las raices" y el vértice. Grafiquemos f(x) = x2 + 5x - 6 La ordenada al origen es - 6, por lo tanto sabemos que el punto (0, - 6) pertenece a la función. Hallemos el vértice de la parábola:

Ahora las raíces

Con estos tres puntos podemos trazar la parábola