Análisis de la ecuación vectorial de Swift-Hohenberg por Matías G. dell`Erba Director: Miguel Hoyuelos

Introducción Estabilidad y bifurcaciones Ecuaciones de amplitud

 Ecuación vectorial de Ecuaciones de Swift-Hohenberg amplitud Ecuaciones de amplitud: describen la dinámica de un conjunto de sistemas físicos entorno de su inestabilidad.

Sistema físico Para R < Rc sistema estable sistema inestable Para R > Rc

Para R = Rc bifurcación Bifurcación: cambio cualitativo en la solución de una ecuación diferencial. Bifurcación de Hopf: Im(l)  0 Re(l)│ R = Rc > 0 R Solución a (R)1/2

Deducción de las ecuaciones de amplitud: Se parte de las ecuaciones de un sistema físico particular. Se linealiza el sistema en torno de una solución conocida. Se toman en cuenta las no-linealidades a partir de un escaleo apropiado. Ventaja de las ecuaciones de amplitud: Cada ecuación de amplitud describe un conjunto de sistemas físicos de naturaleza diferente. Esto se debe al número restringido de tipos de bifurcaciones.

Deducción de la ecuación vectorial de Swift-Hohenberg

Ecuaciones vectoriales de Maxwell-Bloch (MB).

Linealizando en torno de E±= P±= N±= M = 0, la solución queda: Con ella se puede obtener

El cálculo de autovalores conduce a: Escribimos l = m - i n ,y hacemos m = 0 y W = 0

Curva de estabilidad neutral o marginal Modo más inestable k = 0, rc = 1, l = 0

Para tomar en cuenta los términos no-lineales: R: parámetro de control del sistema. ( )

Escaleamos las variables espaciales y temporales: Escribimos las ecuaciones de MB como:

donde Igualando términos del mismo orden en llegamos a:

Ecuación vectorial de Swift-Hohenberg con

Análisis de casos particulares Estabilidad de soluciones homogéneas Inestabilidad de Eckhaus en solución de onda plana Dependencia en los parámetros e y g

Estabilidad de soluciones homogéneas Proponemos como solución:

Buscamos soluciones estacionarias. ( )

Calculamos los autovalores de la matriz jacobiana. Para e > - 1: donde I: solución inestable, E: solución estable, PE: punto de ensilladura, X: sin solución.

Campo vectorial: e > 0, g < -1.

Campo vectorial: e > 0, -1< g < 1.

Campo vectorial: e > 0, g > 1.

Inestabilidad de Eckhaus en solución de onda plana. Proponemos como solución:

Hacemos una perturbación en A± donde

Analizamos los casos y Escribiendo

Caso k+ = k- = k: Definimos y Reemplazando en el sistema se llega a (a± = 1 ± g ): Ecuación de difusión

La estabilidad de la onda plana esta dada por: además, como Q > 0:

Caso k+ = -k- = k: Escribiendo r , f en función de q << 1, las ecuaciones paraf quedan: Para -1 < g < 1, los autovalores (aproximados) son:

La estabilidad de la onda plana esta dada por: Como antes Q > 0, entonces:

Dependencia en los parámetros e y g. Para soluciones con poca dependencia espacial: Para e < -1, el sistema converge a la solución nula. Para g < - 1, el sistema diverge. Para e > -1 y g > 1, una componente del campo se anula.

Análisis numérico Resolución numérica y análisis de soluciones Velocidad de los defectos

Resolución numérica y análisis de datos. Región principal de análisis: -1 < e,g < 1.5. Gráfico modelo Defectos topológicos:

A± se anula A± diverge A± se anula Región A: El sistema diverge o se anula: e < -1 A± se anula a partir de g: (-0.9,-0.9); (0,-0.7) (0.5,-0.5); (1.5,-0.4) A± diverge e,g < -1 A± se anula

Región B: │A+│2 j+ (-0.5,-0.5)

│A+│2 j+ (0,1)

│A+│2 │A-│2 (0,1)

Región C: │A+│2 j+ (0,-0.5)

Región D: │A+│2 │A-│2 (0.5,1.5)

│A+│2 │A-│2 (0,1.6)

j+ j+ (0,5) (0,1.6)

Esquema de las regiones A, B, C y D en el plano (e,g)

Velocidad de los defectos. Láser clase C He-Ne: l = 3.39 mm, P = 5 torr g= 2 108 s-1, k = 2.5 107s-1 6 cm 256 pixels

Dxsd = dx × # pixels = 1 × 85 = 85 Dtsd = 2 × dt × # iteraciones = 2 × 0.2 × 50 = 20 Escaleo en las coordenadas x y t: vdef = 5.4 105 m/s

Conclusiones

Los resultados más importantes obtenidos son: Fuerte dependencia de la estabilidad en e y g Solución Homogénea El carácter vectorial modi_ fica la estabilidad respecto al caso escalar Onda Plana Nuevas estructuras: defectos móviles espirales de doble brazo Análisis Numérico