RELACIÓN BINARIA

Producto Cartesiano El producto cartesiano de dos conjuntos A y B, denotado A × B, es el conjunto de todos los posibles pares ordenados cuyo primer componente es un elemento de A y el segundo componente es un elemento de B. A × B = { (x,y) / x  A ^ y  B }

Producto Cartesiano Ejemplo: Si A = { a , b , c } y B = { 1 , 2 } AxB = { (a,1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2) } Note que A tiene 3 elementos B tiene 2 elementos A x B tiene 6 elementos.

Producto Cartesiano Ejemplo: A = { corazón, trébol, coco, espada } B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 } A x B = { (corazón, 1), (corazón,2),…,(corazón,12), (trébol,1), (trébol,2), …,(trébol,12), …, (espada,12) } Note que A tiene 4 elementos B tiene 12 elementos A x B tiene 48 elementos (todas las cartas del mazo)

Producto Cartesiano Representación en forma de Tabla Ejemplo: A = { , } B = { , , }

Producto Cartesiano Representación en forma de Diagrama Ejemplo: A = { , } B = { , , }

Producto Cartesiano Ejemplo: A = { , } B = { , , }

Gráfico cartesiano Dados los conjuntos A = { 1 , 2 } y B = { 1 , 2 , 3 } El gráfico cartesiano de A x B es: La primera componente de cada elemento del producto cartesiano es la abscisa La segunda componente de cada elemento del producto cartesiano es la ordenada

Dos conjuntos relacionados En una relación binaria intervienen dos conjuntos, el primero se llama «conjunto de partida» y el segundo «conjunto de llegada». R A B Conjunto de partida Conjunto de llegada

Regla de correspondencia Es una expresión que permite establecer una relación entre elementos de los conjuntos. Algunos ejemplos son: «es múltiplo de» «trabaja en» «es de nacionalidad» «a+b=12» «y = x-3»

Definición de relación Dados dos conjuntos A y B, una relación de A en B es el conjunto de pares ordenados (a,b) que cumplen con una condición o regla de correspondencia. En forma simbólica se expresa así:

Ejemplo: Sean los conjuntos A={2,3,4,5} y B={6,7,8}; y la relación R de A en B, tal «a es divisor de b». Halla la relación R. SOLUCIÓN R={(2,6);(2,8);(3,6);(4,8)} Observa que: 2 es divisor de 6, 2 es divisor de 8, 3 es divisor de 6, 4 es divisor de 8

Idea de relación R={(2,6);(2,8);(3,6);(4,8)} OBSERVA: En la tabla se tiene el producto cartesiano de los conjuntos A y B. ¿Te das cuenta que hay 12 pares ordenados? O sea pues, el producto cartesiano AxB tiene 12 elementos. … pero, de todos los pares ordenados del producto cartesiano hay 4 que están resaltados con color verde. Estos pares ordenados cumplen con la regla «a es divisor de b», lo cual significa que «el primer elemento de cada par es divisor del segundo. El conjunto formado por estos cuatro pares ordenados es una relación. … por ello decimos que: «una relación es un subconjunto del producto cartesiano». … y todos las parejas ordenadas del conjunto formado cumplen con una condición o regla de correspondencia. A B 6 7 8 2 (2,6) (2,7) (2,8) 3 (3,6) (3,7) (3,8) 4 (4,6) (4,7) (4,8) 5 (5,6) (5,7) (5,8) R={(2,6);(2,8);(3,6);(4,8)}

Representación gráfica a) Diagrama sagital 2 3 4 5 6 7 8 A B R

Representación gráfica a) Diagrama cartesiano 2 3 4 5 6 7 8 A B R

A cada elemento del dominio se le llama pre imagen 2 3 4 5 6 7 8 A B R El dominio, es un subconjunto del conjunto de partida, formado por los elementos que están relacionados. D(R) ={2,3,4} A cada elemento del dominio se le llama pre imagen

A cada elemento del rango se le llama imagen Rango o recorrido 2 3 4 5 6 7 8 A B R El rango, es un subconjunto del conjunto de llegada, formado por los elementos que están relacionados. R(R) ={6,8} A cada elemento del rango se le llama imagen

Ejercicios propuestos Te toca demostrar que has aprendido Ejercicios propuestos

Ejercicio 1 Sean los conjuntos A={3,5,7} y B={4,6,8,10} y la relación R definida de A en B, tal que «a+b<12». Se pide: a) Determinar la relación R. b) Elaborar una gráfica. c) Determinar el dominio y el rango.

Ejercicio 2 Dada la gráfica: a e i o u Hacer lo siguiente: árbol libro mesa papel R M N Hacer lo siguiente: Escribe el conjunto de partida. Escribe el conjunto de llegada Determina la regla de correspondencia. Escribe la relación R. Escribe el dominio. Escribe el rango.