CRECIMIENTO DE FUNCIONES Tema 9.3 * 4º ESO Opc B @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO VARIACIÓN DE UNA FUNCIÓN La variación de una función f(x) en el intervalo [a, b] se designa por V[a, b] y tiene un valor de: V[a, b] = f(b) – f(a) También se suele llamar Incremento de una función. TASA DE VARIACIÓN MEDIA Se denomina así al cociente: f (b) – f (a) TVM [a, b] = ---------------- b – a Δy También TVM [a, b] = -------- Δx f(b) Δy f(a) Δ x a b @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B FUNCIÓN CRECIENTE EN UN INTERVALO Una función y = f(x) decimos que es CRECIENTE en un intervalo [a, b] si tomados dos valores, x y x+h de dicho intervalo, tal que x < x+h se cumple: f (x) < f (x+h) O sea, si la variación es positiva. Ejemplo: Sea la función f(x) = 2.x - 5 Sean los valores x = 2, h = 1 2 < 2+1  f (2) < f (3 )  2.2 – 5 < 2.3 – 5  - 1 < 1 Vemos que se cumple, luego la función es CRECIENTE. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B FUNCIÓN DECRECIENTE EN UN INTERVALO Una función y = f(x) decimos que es CRECIENTE en un intervalo [a, b] si tomados dos valores, x y x+h de dicho intervalo, tal que x < x+h se cumple: f (x) > f (x+h) O sea, si la variación es negativa. Ejemplo: Sea la función f(x) = 2 - 3.x Sean los valores x = 2, h = 1 2 < 2+1  f (2) > f (3 )  2 – 3.2 > 2 – 3.3  - 4 > - 7 Vemos que se cumple, luego la función es DECRECIENTE. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B EJEMPLO MIXTO La función f(x) = x2 es creciente y decreciente. Eso es verdad, pero no al mismo tiempo. Sean los valores x = - 3, h = 1 - 3 < - 3+1  f (- 3) > f (- 2)  (- 3)2 > ( - 2)2  9 > 4 Vemos que en un entorno de x = - 3 la función es decreciente. Sean los valores x = 3, h = 1 3 < 3+1  f ( 3) < f (4)  32 < 42  9 < 16 x = 3 la función es creciente. TABLA x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 y 16 9 4 1 0 1 4 9 y = f(x) x Aumenta el valor de x @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B Otro ejemplo La función f(x) = x3 es creciente en todo R Sean los valores x = - 3, h = 1 - 3 < - 3+1  f (- 3) < f (- 2)  (- 3)2 < ( - 2)2  - 8 < 4 Vemos que en un entorno de x = - 3 la función es creciente. Sean los valores x = 3, h = 1 3 < 3+1  f ( 3) < f (4)  33 < 43  27 < 64 x = 3 la función es creciente. TABLA x -3 -2 -1 0 1 2 3 y - 27 -8 -1 0 1 8 27 y = f(x) x Aumenta el valor de x @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B MÁXIMOS Y MÍNIMOS Tema 9.3 * 4º ESO Opc B @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B MÁXIMOS Y MÍNIMOS y=f (x) MAXIMO ABSOLUTO Una función y = f(x) decimos que presenta un MÁXIMO ABSOLUTO en un punto x=b cuando los valores que toma la función son todos menores que él. MÍNIMO ABSOLUTO Una función y = f(x) decimos que presenta un MÍNIMO ABSOLUTO en un punto x=a cuando los valores que toma la función son todos mayores que él. f (b) f (a) x a b @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS MAXIMOS RELATIVOS.- Una función y = f(x) decimos que presenta un MÁXIMO RELATIVO en un punto x=a cuando, en un entorno reducido de a, se cumple: f (a - h) < f (a) > f (a + h) MINIMOS RELATIVOS.- Una función y = f(x) decimos que presenta un MÍNIMO RELATIVO en un punto x=b cuando, en un entorno reducido de a, se cumple: f (b - h) > f (b) < f (b + h) Nota: h es un incremento de x muy pequeño y siempre positivo (h = Δx > 0) y=f (x) f (a) f (b) x a b @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B Ejercicio: Analiza la gráfica siguiente, identificando intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos absolutos y relativos. F y D 4 3 2 1 - 1 A B J A H E G x C O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 I @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B