Multiplicación de Vectores UNIDAD 2 ING. ROBIN ANGUIZACA FUENTES

Producto Punto o Producto Escalar Sean A y B dos vectores, se define el producto punto entre los dos vectores como: A ● B = |A| |B| cos θ = A B cos θ = B A cos θ donde A ● B es un escalar θ es el MENOR ÁNGULO que se forma entre los dos vectores θ

Producto Punto o Producto Escalar En función de los vectores unitarios A ● B = (A x i + A y j) ● (B x i + B y j) Desarrollando: A●B = A x B x (i●i) + A x B y (i●j) + A y B x (j●i) + A y B y (j●j) Aplicando la definición i ● i = (1) (1) cos 00 = 1 i ● j = (1) (1) cos 900 = 0 j ● j = (1) (1) cos 00 = 1 j ● i = (1) (1) cos 900 = 0 Obteniendo: A●B = A x B x + A y B y

Producto Punto o Producto Escalar Sea: Concluimos que:

Ejemplo de Producto Punto en forma rectangular Dado los vectores A = (1, 3, 2) y B= (2, 0, 5) Hallar el producto punto A.B Desarrollo:

Producto Vectorial o Producto Cruz Sean A y B dos vectores, se define el producto vectorial como: A x B = C ; Donde C es un nuevo vector

Producto Vectorial o Producto Cruz La MAGNITUD del vector C viene dada por: |C| = | A x B | = | A | | B | sen θ Donde θ es el menor ángulo que se forma entre los vectores La DIRECCIÓN del vector C es perpendicular tanto al vector A como al B Su SENTIDO viene dado por la REGLA DE LA MANO DERECHA

Producto cruz o producto vectorial El producto cruz o producto vectorial se definió como: A x B = |A| |B| sen θ = A B sen θ En función de los vectores unitarios A x B = (A x i + A y j) x (B x i + B y j) Desarrollando: AxB = A x B x (ixi) + A x B y (ixj) + A y B x (jxi) + A y B y (jxj) Aplicando la definición i x i = (1) (1) sen 00 = 0 i x j = (1) (1) sen 900 = k (aplicando la regla de la mano derecha) j x j = (1) (1) sen 00 = 0 j x i = (1) (1) sen 900 = -k (aplicando la regla de la mano derecha)

Regla de la mano Derecha

2) Producto Cruz entre versores El sentido antihorario es positivo. Luego: … etc EJEMPLO:

Compruebe que: 3) En general, AxB se calcula con un determinante:

Regla de la mano derecha Con los dedos extendidos de la mano derecha y el pulgar perpendicular a ellos, tratar de empujar la punta del primer vector hacia la punta del segundo vector cerrando los dedos y dejando extendido el pulgar, el sentido en el que apunta este pulgar, nos indicará el sentido hacia donde apunta el vector C o producto vectorial entre los dos vectores Si el ángulo entre los dos vectores es de 900, entonces el producto vectorial entre ellos es el VECTOR NULO o Vector cero, ya que Sen 900 = 0 Nota: Los vectores A y B forman o están en un plano, siendo el vector C perpendicular a dicho plano, por ejemplo, es como si los vectores A y B estuviesen en el piso, luego entonces, el vector C estaría saliendo o entrando perpendicularmente al piso.

|A| |B| cos θ = A x B x + A y B y Producto punto … Sustituyendo los productos punto A ● B = A x B x + A y B y Igualando ambas definiciones |A| |B| cos θ = A x B x + A y B y Despejando el ángulo θ = cos-1 A x B x + A y B y |A| |B|

Ejemplo: producto punto Encontrar el producto punto o producto escalar de los siguientes vectores: A = 4 i + 5 j análisis: I cuadrante a 51.340 al N del E; magnitud 6.4 B = 6 i + 2 j análisis: I cuadrante a 17.430 al N del E; magnitud 6.3 A ● B = A x B x + A y B y = 24 + 10 = 34 El menor ángulo que forman entre si los dos vectores es: θ = cos-1 θ = 32.90 A x B x + A y B y |A| |B| 34 √16+25 √36+4

Producto cruz … Sustituyendo los productos cruz de vectores unitarios A x B = A x B y (k) + A y B x (-k) A x B = (A x B y - A y B x ) k Un nuevo vector cuya: Magnitud es: A x B y - A y B x Dirección: perpendicular al plano formado por A y B. Sentido: Sale del plano si A x B y - A y B x > 0 Entra al plano si A x B y - A y B x > 0

Producto cruz en tres dimensiones El producto cruz o producto vectorial de vectores unitarios A x B = (A x i + A y j + A z k) x (B x i + B y j + B z k) Desarrollando: A x B = A x B x (i x i) + A x B y (i x j) + A x B z (i x k) +A y B x (j x i) + A y B y (j x j) + A y B z (j x k) + A z B x (k x i) + A z B y (k x j) + A z B z (k x k) Aplicando la definición i x i = (1) (1) sen 00 = 0 i x j = (1) (1) sen 900 = k i x k = (1) (1) sen 900 = - j j x i = (1) (1) sen 00 = - k j x j = (1) (1) sen 900 = 0 j x k = (1) (1) sen 900 = i k x i = (1) (1) sen 00 = j k x j = (1) (1) sen 900 = - i k x k = (1) (1) sen 900 = 0

Producto cruz … Sustituyendo A x B = AxBy (k) + AxBz (-j) +AyBx (-k) + AyBz (i) + AzBx (j) + AzBy (-i) Reagrupando A x B = (AyBz - AzBy) i + (AzBx - AxBz) j + (AxBy - AyBx) k

Producto cruz: determinantes i j k Ax Ay Az Bx By Bz = +(Ay Bz - By Az ) i - (Ax Bz - Bx Az ) j + (Ax By – Bx Ay )k A x B =