DIAGRAMAS LOGICOS DE SUBESPACIOS VECTORIALES Pablo Michel Fernández Valdez María Magdalena Tinoco Villa Moctezuma García Mendoza Paulina Villalón Valdez Jesús Castañeda Rivera Facultad de Ciencias Físico-Matemáticas Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo Grupo de Lógica y Matemáticas Morelia

Definiciones básicas SUBESPACIO VECTORIAL: Sea V un espacio vectorial. Decimos que W es un subespacio vectorial de V si W es en sí mismo un espacio vectorial con las siguientes condiciones:

DEFINICION1. El subespacio vectorial es el subespacio vectorial mas grande de V que está contenido en X y Y. DEFINICION 2. El subespacio vectorial es el subespacio vectorial mas pequeño de V que contiene a X y a Y

Si un subespacio vectorial Z contiene a un subespacio vectorial Y, y este subespacio vectorial Y contiene al subespacio vectorial X, entonces X está contenido en Z. Esta propiedad es usada gráficamente para representar la estructura de un silogismo. Un retículo es la representación del mínimo de proposiciones necesarias que expresan todos los elementos del silogismo.

Observaciones 1) sean X, Y, Z subespacios vectoriales de V, entonces Prueba: Observe que y que entonces Por otro lado, y , Entonces Por lo tanto

2) sean X, y Y, Z subespacios vectoriales de V, entonces Prueba: Note que y que Por lo consiguiente 3) Si (Ley Modular) Prueba: como y , se tiene que por otra parte, y , de donde Por lo tanto, Recíprocamente, sea entonces y si podemos escribir y entonces,

. DIAGRAMAS LOGICOS DE SUBESPACIOS VECTORIALES X Y Y X X + Y . {0} V Primeramente se presenta el diagrama para solo dos subespacios vectoriales.

Este diagrama representa todos los subespacios vectoriales que se pueden formar con tres subespacios X+(Y Z) X Y X Y Z Z X+Y Y Y+ Z {0} V .

. Finalmente tenemos el diagrama para cuatro subespacios V 1 3 2 11 18 5 4 3 6 7 8 9 10 11 12 14 15 13 16 17 18 {0}

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