Cálculo diferencial (arq) La derivada como razón de cambio
Función de posición s = f(t) Suponga que una partícula se mueve a lo largo de una línea recta de acuerdo con la ecuación de movimiento s = f(t). “s” es el desplazamiento de la partícula al tiempo “t”.
t = a t = a + h t = 0 f(a + h) - f(a) f(a) f(a + h) Posición al tiempo t = a + h Posición inicial (t = 0) t = a t = a + h t = 0 Posición al tiempo t = a f(a + h) - f(a) f(a) f(a + h)
Velocidad promedio
Velocidad instantánea Si ahora calculamos la velocidad promedio en lapsos cada vez más cortos (h tiende a 0), obtenermos aproximaciones cada vez más cercanas a la velocidad en el instante t = a. v(a) se llama velocidad instantánea o simplemente velocidad de la partícula en el tiempo t = a.
Ejemplo Una pelota se deja caer desde una altura de 450 m. Su altura al tiempo t está dada por la ecuación f(t) = 450 – 4,9t2. a) ¿Cuál es la velocidad de la pelota luego de 5 segundos? b) ¿Con qué velocidad choca contra el suelo?
Razón de cambio Suponga que y es una cantidad que depende de otra cantidad x, y además y = f(x). Se define la razón de cambio (instantánea) de y con respecto de x en x = a como:
Conclusión La derivada se puede interpretar como: La pendiente de la recta tangente a una curva. La razón de cambio de una magnitud respecto de otra.
Ejemplo Un fabricante produce rollos de tela con un ancho fijo. El costo de producir x yardas de tela es C = f(x) dólares. a) ¿Cuál es el significado de la derivada f’(x)? ¿Cuáles son sus unidades? b) En términos prácticos, qué significa decir que f’(1000) = 9?
Derivabilidad y continuidad Se dice que una función es derivable o diferenciable en el número a si existe f’(a). Teorema: Una función derivable en a es continua en a. El caso inverso no es necesariamente cierto. Hay funciones continuas que no son derivables.
Funciones continuas no derivables
Una función continua en un número “a” NO es derivable en “a” si: Presenta un “pico” o “punto anguloso” en x = a. La recta tangente en x = a es vertical.
Otras notaciones para derivadas
Ejercicios Sección 2.8 Ejercicios 2.8 (pág. 161) 27; 28; 30; 33; 34 33; 34; 42