UNIVERSIDAD AUTONOMA SAN FRANCISCO NOMBRE: ROSA ELENA APELLIDOS: CUADROS RETAMOZO CURSO: MATEMATICA CARRERA PROFESIONAL: TURISMO E IDIOMAS ESPECIALIDAD: TURISMO, HOTELERIA Y GASTR. SEMESTRE: I TURNO: MAÑANA AÑO: 2013

REPRESENTACIONES DE FUNCIONES LÓGICAS

ALGEBRA BOOLEANA ASPECTOS CLAVES Algebra booleana: Sistema algebraico que opera sobre variables booleanas. La naturaleza binaria (de 2 estados) del algebra booleana la hace apta para el análisis, simplificación y diseño de circuitos lógicos. Variables booleana: Variable que puede tomar solo dos posibles valores, tales como HIGH/LOW, 1/0, On/Off o TRUE/FALSE. Expresión booleana: Expresión algebraica compuesta por variables booleanas y operadores tales como AND, OR o NOT. También es conocida como función booleana o función lógica. F = (A OR B)AND(NOT(C))

OPERADORES BOOLEANOS LOGICOS BASICOS NOT AND Este operador retorna V solo cuando ambas entradas son V. Este operador retorna V cuando cualquiera de las entradas es V. Este operador retorna como salida el valor opuesto a la entrada. Ejemplo: Dada la función lógica mostrada a continuación. ¿Cuál es su valor si A=1, B=0, D=0, C=0 y E=1? 𝐹=𝐴.𝐵+ 𝐶+ 𝐷 .𝐸

TABLA DE VERDAD Es una herramienta para describir la forma en que la salida de una función o circuito lógico depende de los niveles lógicos presentes a la entrada. Entradas (3) Salida Circuito lógico A B C x Para N entradas existen un total de 2^N combinaciones posibles y por ende 2^N filas en la tabla de verdad asociada a la función que esta se encuentra representando. Filas (8) Ejemplo: Se tiene un circuito con 3 entradas el cual se enciende en los siguientes casos: Cuando dos de las entradas se encuentran en alto. Cuando las tres entradas son iguales. Llene la tabla de verdad asociada a este circuito.

OPERADORES BOOLEANOS Y COMPUERTAS LOGICAS Inversor Z A Compuerta AND A B Z Z A B Compuerta NOR Z A B Compuerta NAND Compuerta XOR Z A B Compuerta OR Z A B

COMPUERTA NOT A X 𝑋= 𝐴 𝑋= NOT(A) 𝑋=𝐴′ La operación NOT produce una salida cuyo valor es el opuesto al valor de su entrada.

COMPUERTA AND A X B 𝑋=𝐴 𝐴𝑁𝐷 𝐵 𝑋=𝐴𝐵 La operación AND produce una salida de 1 solo cuando todas sus entradas son 1. En cualquier otro caso la salida es 0.

COMPUERTA OR A X B 𝑋=𝐴 𝑂𝑅 𝐵 𝑋=𝐴+𝐵 La operación OR produce una salida de 1 siempre que cualquiera de sus entradas sea 0. En cualquier otro caso la salida es 0.

COMPUERTA NOR A X B 𝑋=(𝐴+ 𝐵)′ 𝑋= 𝐴+𝐵 La operación NOR produce una salida de 1 solo cuando todas sus entradas son 0. En cualquier otro caso la salida es 0.

COMPUERTA NAND A X B 𝑋=(𝐴∙𝐵)′ 𝑋= 𝐴∙𝐵 𝑋= 𝐴𝐵 La operación NAND produce una salida de 0 solo cuando todas sus entradas son 1. En cualquier otro caso la salida es 1.

COMPUERTA XOR A X B 𝑋=𝐴 𝑋𝑂𝑅 𝐵 𝑋=𝐴⨁𝐵 La operación XOR produce una salida de 1 cuando sus entradas son diferentes. En cualquier otro caso la salida es 0.

COMPUERTA XNOR A X B 𝑋=(𝐴⨁𝐵)′ 𝑋= 𝐴⊕𝐵 Produce una salida 1 solo cuando las entradas son iguales, en caso opuesto la salida producida es 0.

RESUMEN COMPUERTAS Compuerta Símbolo Tabla de verdad Expresión AND OR 𝑋=𝐴𝐵 𝑋=𝐴+𝐵 OR NOT 𝑋= 𝐴

RESUMEN COMPUERTAS Compuerta Símbolo Tabla de verdad Expresión NOR 𝑋= 𝐴+𝐵 NAND 𝑋= 𝐴𝐵 XNOR 𝑋= 𝐴⊕𝐵

RESUMEN COMPUERTAS Compuerta Símbolo Tabla de verdad Expresión XOR 𝑋=𝐴⨁𝐵

REPASO DE LO VISTO Ejemplo 1: Determine la forma de onda de salida para la compuerta OR, cuando se tiene la siguiente entrada a estas:

REPASO DE LO VISTO Ejemplo 2: Para la compuerta OR de 3 entradas mostrada a continuación, determine la forma de onda a la salida. Ejemplo 3: Como seria la salida si lo que se tuviera fuera una compuerta AND de 3 entradas

ORDEN DE PRESEDENCIA Las operaciones AND se hace antes que las operaciones OR Los paréntesis hacen mas clara la precedencia pero no son necesarios para el caso anterior Cuando in inversor esta presente en un diagrama de circuito lógico, su expresión de salida simplemente es igual a la expresión de entrada con una barra sobre esta.

RELACION ENTRE FUNCIONES LOGICAS Y CIRCUITOS DIGITALES Cuando la operación de un circuito esta definida por una función booleana, nosotros podemos dibujar el circuito directamente de la expresión.

TEOREMAS BOOLEANOS Postulados de Huntington Las operaciones en algebra booleana están basadas en los siguientes postulados: Postulado 1 (Propiedad de la cerradura): Si x, y ∈ S, entonces x + y ∈ S ; x.y ∈ S Postulado 2 (Propiedad conmutativa): Si x, y ∈ S, entonces x + y = y + x ; xy = yx En aplicación en los circuitos digitales podríamos decir que no importa el orden de conexión de las entradas a una compuerta OR o AND.

TEOREMAS BOOLEANOS Postulado 3 (Propiedad asociativa): Si x, y, z ∈ S, entonces x + (y+z) = (x + y)+z ; x.(y.z) = (x.y).z Postulado 4 (Propiedad distributiva): Si x, y, z ∈ S, entonces x + (y.z) = (x + y).(x+z) ; x.(y+z) = x.y + x.z

TEOREMAS BOOLEANOS Postulado 5 (Identidades): En el conjunto S existen dos elementos 1 (uno) y 0 (cero), únicos, tales que: x + 0 = x ; x.1 = x x x 1 Donde 0 es el elemento neutro par la operación + y 1 es el elemento neutro para la operación ∙. Postulado 6 (Complemento): Para cada elemento x en S existe un elemento 𝑥 , llamado complemento de x tal que: x + 𝑥 = 1 ; x. 𝑥 = 0

TEOREMAS DEL ALGEBRA BOOLEANA Principio de dualidad: Cualquier expresión algebraica derivada de los axiomas continua siendo valida cuando los operandos AND y OR, y los elementos 1 y 0 son intercambiados.

TEOREMAS DEL ALGEBRA BOOLEANA Teorema 1: Los elementos de identidad 0 y 1 son unicos. Teorema 2 (Idempotencia): x + x = x x.x = x Teorema 3 (Elemento nulo): x + 1 = 1 x.0 = 0 Teorema 4 (Leyes de absorción): x + xy = x x(x+y) = x Teorema 5: Cada elemento en el conjunto S tiene un único complemento. Teorema 6 (Teorema de la involucion): 𝑥 =𝑥

TEOREMAS DEL ALGEBRA BOOLEANA Teorema 7 (Absorcion): 𝑥+ 𝑥 𝑦=𝑥+𝑦 𝑥( 𝑥 +𝑦)=𝑥𝑦 Teorema 8 (Teorema de DeMorgan): 𝑥+𝑦 = 𝑥 𝑦 𝑥𝑦 = 𝑥 + 𝑦 El cual generalizado para mas elementos mas de dos elementos será: 𝑎+𝑏+…+𝑎 = 𝑎 𝑏 … 𝑧 𝑎𝑏…𝑧 = 𝑥 + 𝑦 +…+ 𝑧 Teorema 9 (Teorema de consenso): 𝑥𝑦+ 𝑥 𝑧+𝑦𝑧=𝑥𝑦+ 𝑥 𝑧 (𝑥+𝑦)( 𝑥 +𝑧)(𝑦+𝑧)=(𝑥+𝑦)( 𝑥 +𝑧)

TEOREMAS DEL ALGEBRA BOOLEANA 𝑥𝑦+𝑥 𝑦 𝑧=𝑥𝑦+𝑥𝑧 (𝑥+𝑦)(𝑥+ 𝑦 +𝑧)=(𝑥+𝑦)(𝑥+𝑧) Teorema 11: 𝑥𝑦+ 𝑥 𝑧=(𝑥+𝑧)( 𝑥 +𝑦) 𝑥+𝑦 𝑥 +𝑧 =𝑥𝑧+𝑥𝑦