@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS1 Bloque IV * Tema 155 MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS2 MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN Nos permiten analizar y estudiar los datos obtenidos. MEDIA Normalmente es la media aritmética de una serie estadística. MEDIA PONDERADA La media aritmética ponderada es el resultado de multiplicar cada valor de la variable (x) por su frecuencia (n) y dividir la suma de los productos hallados por la suma de las frecuencias. ∑ xi. fi x1.f1 + x2.f2 + x3.f3 + …. x = = ∑ fi f1 + f2 + f3 + …. MODAEs el valor de la variable (x) de mayor frecuencia, el que más se repite. MEDIANA Es el valor de la variable (x) que ocupe el lugar central, una vez que hemos ordenado la serie estadística en orden creciente o decreciente de su variable.

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS3 MEDIDAS DE POSICIÓN CUARTILES Es el resultado de dividir en 4 partes la serie X X X º Cuartil 2º Cuartil 3º Cuartil El 2º cuartil coincide con la Mediana. DECILES Es el resultado de dividir en 10 partes la serie. Suele emplearse en series de tamaño medio. El quinto decil coincide con la mediana. PERCENTILES Es el resultado de dividir en 100 partes la serie. Suele emplearse en series de gran tamaño. El 50º percentil coincide con la mediana.

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS4 Ejemplo_1 Calificaciones de 100 alumnos de una clase en Matemáticas Variable discreta. Tabla ampliada. xifixi fixi 2 fi xi Media ∑ xi. fi 480 x = = = 4,8 ∑ fi 100 Moda Mo = 3 Mediana Md = [x 50,x 51 ]= 5

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS5 clasesxi = m.c.fixi fixi 2 fi xi 2 [0,5, 3,5] (3,5, 6,5] (6,5, 9,5] Ejemplo_2 Calificaciones de 100 alumnos de una clase en Matemáticas Variable continua. Tabla ampliada. Media ∑ xi. fi 470 x = = = 4,7 ∑ fi 100 Moda Mo = 2 = [0’5, 3’5] Mediana Md = [x 50, x 51 ]= 5 = (3’5, 6’5]

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS6 clasesxi = m.c.fixi fifr% [0,0, 2,5]1, ,2020 (2,5, 5,0]3, ,3030 (5,0, 7,5]6, ,4040 (7,5, 10,0]8, , % Ejemplo_3 Calificaciones de 800 alumnos de un IES en Matemáticas Variable continua. Tabla ampliada. Media ∑ xi. fi 3800 x = = = 4,75 ∑ fi 800 Mediana Md = [x 400, x 401 ]= 3,75 y 6,25 Moda Mo = 3,75 = [2,5, 5,0]

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS7 FÓRMULA DE STURGES Cuado en una distribución estadística hay un número elevado de diferentes valores de la variable discreta, éstos se agrupan en clases para su estudio, a semejanza de variable continua. El número de clases en esos casos se establece por simple sentido común, según sea la naturaleza de la serie estadística; no debe ser nunca menor de cinco ni mayor de doce. La amplitud de los intervalos de cada clase, a ser posible, será la misma en todos. Para estudios estadísticos de precisión, existe una fórmula, llamada Fórmula de Sturges, que nos da el número de clases en función del número (n) de datos de la serie. Nº de clases = 1 + 3,32.log n

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS8 MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN La media en una serie estadística es la media aritmética de todos los valores de la variable (marca de clase si es variable continua). Pero si las diferentes modalidades de la variable no tienen todas el mismo peso, entonces se hallará la media ponderada, no la aritmética. Media aritmética: x = (Σxi.fi)/n Media ponderada: x = (Σxi.pi)/Σpi La mediana, Md, y la moda, Mo, no están influidas por valores extremos ni datos extravagantes; pero no tienen en cuenta el valor de todos los datos y, lo que es peor, no se puede operar algebraicamente con ellas.

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS9 PROPIEDADES DE LA MEDIA En una serie estadística, si sumamos una constante k a todos y cada uno de los valores de la variable (xi), la media de la nueva serie resultante será la anterior más la constante k. x1, x2, …, xn  x x1+k, x2+k, …, xn+k  x + k En una serie estadística, si multiplicamos por una constante k a todos y cada uno de los valores de la variable (xi), la media de la nueva serie resultante será la anterior multiplicada por la constante k. x1, x2, …xn  x x1.k, + x2.k, …xn.k  x. k

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS10 MEDIANA Y CUARTILES En una serie estadística de variable continua, o bien de variable discreta formando clases, el primer cuartil, el segundo cuartil o mediana, y el tercer cuartil, se hallan de la forma: (n/4) – F Q1-1 Q 1 =e c f Q1-1 (n/2) – F Q2-1 Md = Q 2 =e c f Q2-1 (3n/4) – F Q3-1 Q 3 =e c f Q3-1 Siendo: e1 el límite inferior del intervalo o clase. c la amplitud de la clase. n el número total de elementos de la serie. F Q1-1, la frecuencia absoluta acumulada de la clase anterior a la que contiene el cuartil. f Q1-1 la frecuencia absoluta de la clase anterior a la que contiene el cuartil.

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS11 Ejemplo Hallar primer cuartil, mediana, y el tercer cuartil. (n/4) – F Q1-1 Q 1 =e c f Q1-1 (200/4) – 35 Q 1 = = 27 = 8 + 0, = 8 + 2,2222 = 10,2222 ClasefifrFi [0, 4)80,048 [4, 8)270,13535 [8, 12)500,2585 [12, 16)600,30145 [16, 20)370, [20, 24]180,09200

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS12 Ejemplo (n/2) – F Q2-1 Md = Q 2 =e c f Q2-1 (200/2) – 85 Md = Q 2 = = Md = = ,2 = 13,2 50 ClasefifrFi [0, 4)80,048 [4, 8)270,13535 [8, 12)500,2585 [12, 16)600,30145 [16, 20)370, [20, 24]180,09200

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS13 Ejemplo (3n/4) – F Q3-1 Q 3 = e c f Q3-1 (3.200/4) – 145 Q 3 = = 60 5 = = 16+0,3333 = 16, ClasefifrFi [0, 4)80,048 [4, 8)270,13535 [8, 12)500,2585 [12, 16)600,30145 [16, 20)370, [20, 24]180,09200