Tema: Inecuaciones de primer grado con una variable. Curso: Matemática FC. Tema: Inecuaciones de primer grado con una variable.

Inecuaciones de primer grado con una variable Definición [Intervalo]. Sea 𝐼 un subconjunto de ℝ (𝑰  ℝ ). Decimos que 𝐼 es un intervalo, si y sólo si es el conjunto de todos los números reales que están comprendidos entre otros dos llamados extremos (que pueden ser reales o ideales). Tipos de Intervalos Intervalos acotados. Son Son aquellos intervalos cuyos extremos son reales, éstos pueden ser: Intervalo cerrado. Es aquel que incluye a los extremos. Se denota por [𝑎;𝑏], es decir 𝑎;𝑏 ={ 𝑥∈ℝ 𝑎≤𝑥≤𝑏 } Gráficamente se representa por 𝑎 𝑏 +∞ −∞ Intervalo abierto. Es aquel que no incluye a los extremos. Se denota por 𝑎;𝑏 , es decir 𝑎;𝑏 ={ 𝑥∈ℝ 𝑎<𝑥<𝑏 } Gráficamente se representa por 𝑎 𝑏 +∞ −∞

Inecuaciones de primer grado con una variable Tipos de Intervalos (continuación) Intervalo semiabierto por la derecha. Es aquel que no incluye al extremo derecho del intervalo, pero sí al izquierdo 𝑎;𝑏 ={ 𝑥∈ℝ 𝑎≤𝑥<𝑏 } Gráficamente se representa por: 𝑎 𝑏 +∞ −∞ Intervalo semiabierto por la izquierda. Es aquel que no incluye al extremo izquierdo del intervalo, pero sí al derecho 𝑎;𝑏 ={ 𝑥∈ℝ 𝑎<𝑥≤𝑏 } Gráficamente se representa por: 𝑎 𝑏 +∞ −∞

Inecuaciones de primer grado con una variable Tipos de Intervalos (continuación) Intervalos no acotados. Son aquellos intervalos donde uno de los extremos son de la forma infinita por la derecha +∞ o por la izquierda. −∞ .

Inecuaciones de primer grado con una variable Definición [Desigualdad]. Una desigualdad es un enunciado que establece que un número es menor o mayor que otro. Propiedades de una desigualdad Sea 𝑎, 𝑏 y 𝑐 números reales, entonces: Si 𝑎<𝑏, entonces 𝑎±𝑐<𝑏±𝑐. Si 𝑎<𝑏 y 𝑐>0, entonces 𝑎×𝑐<𝑏×𝑐. Si 𝑎<𝑏 y 𝑐<0, entonces 𝑎×𝑐>𝑏×𝑐. Ejemplo. Si a la desigualdad 2<5 le adicionamos 3, entonces se tendrá que 5<8. Si a la desigualdad −1<1 le restamos 4, entonces se tendrá que −5<−3. Si a la desigualdad −2<3 lo multiplicamos por 5, entonces se tendrá que −10<15. Si a la desigualdad −4<2 lo multiplicamos por −3, entonces 12>−6.

Inecuaciones de primer grado con una variable Definición [Inecuación lineal]. Sean 𝑎, 𝑏 constantes reales tal que 𝑎≠0 y 𝒙 una variable real, llamaremos inecuación lineal a toda expresión que puede adoptar alguna de las siguientes formas: 𝑎𝑥+𝑏<0 𝑎𝑥+𝑏>0 𝑎𝑥+𝑏≤0 𝑎𝑥+𝑏≥0 Ejemplo. 3𝑥 + 2 > 0 es una inecuación lineal. 𝑥 2 −𝑥>0 no es una inecuación lineal. La solución de una inecuación lineal se puede representar haciendo uso de intervalos en la recta numérica.

Inecuaciones de primer grado con una variable Ejercicios diversos Ejercicio. Dados los Intervalos: 𝐴= −∞;0 , 𝐵= −3;5 y 𝐶= 3; +∞ Determine: 𝐴∪𝐵 −(𝐵∩𝐶)

Inecuaciones de primer grado con una variable Ejercicio. En el cuadro mostrado hay dos columnas, usted debe elegir convenientemente una de las expresiones matemáticas contenidas en la primera columna y completar los enunciados presentadas en la segunda columna, de modo que sean verdaderas.

Inecuaciones de primer grado con una variable Ejercicio. En el cuadro mostrado hay dos columnas, usted debe elegir convenientemente una de las expresiones matemáticas contenidas en la primera columna y completar los enunciados presentadas en la segunda columna, de modo que sean verdaderas. Columna Proposiciones   −2;19 ]−1;17] −1;19 19; −1 [1p] Si 𝑥 es un número real que cumple −3<𝑥≤7, entonces el intervalo al que pertenece 2𝑥+5, es ________

Inecuaciones de primer grado con una variable Ejercicio Determine el conjunto solución de: 𝑥−1 2 + 𝑥−2 3 + 𝑥−3 4 ≥120 Resolución 𝑥−1 2 + 𝑥−2 3 + 𝑥−3 4 ≥120 MCM(2; 3; 4) = 12 6 𝑥−1 +4 𝑥−2 +3 𝑥−3 ≥ 120 12 6𝑥−6+4𝑥−8+3𝑥−9≥1 440 13𝑥−23≥1 440 13𝑥≥1 463 𝑥≥ 1 463 13 C.S.= 1 463 13 ; +∞ Respuesta:

Inecuaciones de primer grado con una variable Ejercicio Determine el conjunto solución de: −2≤ 2−3𝑥 4 <1 Resolución −2≤ 2−3𝑥 4 <1 −8≤2−3𝑥<4 −10≤−3𝑥<2 −2<3𝑥≤10 − 2 3 <𝑥≤ 10 3 C.S.= − 2 3 ; 10 3 Respuesta:

Inecuaciones de primer grado con una variable Ejercicio Determine el conjunto solución de: 2 3 𝑥+5≤8− 3 4 𝑥≤7+ 4 5 𝑥 Resolución 2 3 𝑥+5≤8− 3 4 𝑥≤7+ 4 5 𝑥 Segunda separación 480−45𝑥≤420+48𝑥 MCM(3; 4; 5) = 60 480−420≤45𝑥+48𝑥 60 2 3 𝑥+5 ≤60 8− 3 4 𝑥 ≤60 7+ 4 5 𝑥 60≤93𝑥 20 31 ≤𝑥 →𝐵= 20 31 ; +∞ 40𝑥+300≤480−45𝑥≤420+48𝑥 Primera separación Obteniendo el conjunto solución 40𝑥+300≤480−45𝑥 = 20 31 ; 36 17 C.S.=𝐴∩𝐵 40𝑥+45𝑥≤480−300 85𝑥≤180 𝑥≤ 36 17 → 𝐴= −∞; 36 17

Inecuaciones de primer grado con una variable Ejercicio [Aplicación: ingreso, costo y utilidad] Una compañía vende cada Ipod que produce a $60. Si el costo de cada Ipod es de $20 y la empresa tiene costos fijos de $1 000. Modele las expresiones que representan al Costo, el Ingreso y la Utilidad al vender y producir 𝑥 Ipod. Exprese la inecuación que se obtiene al vender y producir 𝑥 unidades, si se quiere obtener utilidades no menores a $2 800. Resolución Parte a) Ingreso: 𝐼=60𝑥 Costo: 𝐶=20𝑥+1 000 Utilidad: 𝑈=40𝑥−1 000 Parte b) Frase: “obtener utilidades no menores a $2 800” 𝑈≥2 800 40𝑥−1 000≥2 800

Inecuaciones de primer grado con una variable Ejercicio 5 [Aplicación: ingreso, costo y utilidad] Un fabricante de cierto artículo puede vender todo lo que produce a $45 cada artículo. En la fabricación de cada unidad gasta $38 y tiene costos fijos adicionales de $4900 mensuales en la operación de la planta. Plantee, resuelva y responda: ¿Cuál es el número mínimo de unidades que debe producir y vender para obtener utilidad? ¿Cuál es el número 𝑥 de unidades que debe producir y vender para obtener utilidades de al menos $700? Resolución Parte a) Ingreso: 𝐼=45𝑥 Parte b) Frase: “obtener utilidades de al menos $700” Costo: 𝐶=38𝑥+4 900 𝑈≥700 Utilidad: 𝑈=7𝑥−4 900 7𝑥−4 900≥700 Frase: “obtener utilidad” 7𝑥≥5 600 𝑈>0 7𝑥−4 900>0 𝑥≥800 7𝑥>4 900 Rpta: debe producir y vender por lo menos 800 artículos. 𝑥>700 Rpta: debe producir y vender como mínimo 701 artículos.