DÍA 51 * 1º BAD CS MEDIA, MODA Y MEDIANA

MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN Nos permiten analizar y estudiar los datos obtenidos. MEDIA Normalmente es la media aritmética de una serie estadística. MEDIA PONDERADA La media aritmética ponderada es el resultado de multiplicar cada valor de la variable (x) por su frecuencia (n) y dividir la suma de los productos hallados por la suma de las frecuencias. ∑ xi. fi x1.f1 + x2.f2 + x3.f3 + …. x = ----------- = --------------------------------------- ∑ fi f1 + f2 + f3 + …. MODA Es el valor de la variable (x) de mayor frecuencia, el que más se repite. MEDIANA Es el valor de la variable (x) que ocupe el lugar central, una vez que hemos ordenado la serie estadística en orden creciente o decreciente de su variable.

MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN CUARTILES Es el resultado de dividir en 4 partes la serie. ----------------X-------------------X------------------X------------------ 1º Cuartil 2º Cuartil 3º Cuartil El 2º cuartil coincide con la Mediana. DECILES Es el resultado de dividir en 10 partes la serie. Suele emplearse en series de tamaño medio. El quinto decil coincide con la mediana. PERCENTILES Es el resultado de dividir en 100 partes la serie. Suele emplearse en series de gran tamaño. El 50º percentil coincide con la mediana.

Calificaciones de 100 alumnos de una clase en Matemáticas Ejemplo_1 Calificaciones de 100 alumnos de una clase en Matemáticas Variable discreta. Tabla ampliada. Columna de variables Frecuencia Absoluta Producto Cuadrados Final xi fi xi fi xi 2 fi xi 2 3 40 120 9 360 5 30 150 25 750 7 210 49 343 100 480 1453 Media ∑ xi. fi 480 x = ----------- = ------- = 4,8 ∑ fi 100 Moda Mo = 3 Mediana Md = [x50 ,x51]= 5

Calificaciones de 100 alumnos de una clase en Matemáticas Ejemplo_2 Calificaciones de 100 alumnos de una clase en Matemáticas Variable continua. Tabla ampliada. Clases Marca de clases Frecuencia Absoluta Producto Cuadrados Final clases xi = m.c. fi xi fi xi 2 fi xi 2 [0,5 , 3,5] 2 40 80 4 160 (3,5 , 6,5] 5 30 150 25 750 (6,5 , 9,5] 8 240 64 1920 100 470 93 2830 Media ∑ xi. fi 470 x = ----------- = ------- = 4,7 ∑ fi 100 Moda Mo = 2 = [0’5 , 3’5] Mediana Md = [x50, x51 ]= 5

Calificaciones de 800 alumnos de un IES en Matemáticas Ejemplo_3 Calificaciones de 800 alumnos de un IES en Matemáticas Variable continua. Tabla ampliada. Clases Marca de clases Frecuencia Absoluta Producto Frecuencia Relativa clases xi = m.c. fi xi fi fr % [0,0 , 2,5] 1,25 160 200 0,20 20 (2,5 , 5,0] 3,75 240 900 0,30 30 (5,0 , 7,5] 6,25 320 2000 0,40 40 (7,5 , 10,0] 8,75 80 700 0,10 10 800 3800 1 100% Media ∑ xi. fi 3800 x = ----------- = ------- = 4,75 ∑ fi 800 Mediana Md = [x400, x401 ]= (3,75+6,25)/2= 5 Centiles 1ºcl=1,25; 2ºcl=1,25; 3ºcl=3,75;…;100ºcl=8,75

FÓRMULA DE STURGES Cuado en una distribución estadística hay un número elevado de diferentes valores de la variable discreta, éstos se agrupan en clases para su estudio, a semejanza de variable continua. El número de clases en esos casos se establece por simple sentido común, según sea la naturaleza de la serie estadística; no debe ser nunca menor de cinco ni mayor de doce. La amplitud de los intervalos de cada clase, a ser posible, será la misma en todos. Para estudios estadísticos de precisión, existe una fórmula, llamada Fórmula de Sturges, que nos da el número de clases en función del número (n) de datos de la serie. Nº de clases = 1 + 3,32.log n

MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN La media en una serie estadística es la media aritmética de todos los valores de la variable (marca de clase se es variable continua). Pero si las diferentes modalidades de la variable no tienen todas el mismo peso, entonces se hallará la media ponderada, no la aritmética. Media aritmética: x = (Σxi.fi)/n Media ponderada: x = (Σxi.pi)/Σpi La mediana, Md, y la moda, Mo, no están influidas por valores extremos ni datos extravagantes; pero no tienen en cuenta el valor de todos los datos y, lo que es peor, no se puede operar algebraicamente con ellas.

PROPIEDADES DE LA MEDIA En una serie estadística, si sumamos una constante k a todos y cada uno de los valores de la variable (xi), la media de la nueva serie resultante será la anterior más la constante k. x1, x2, …, xn  x x1+k, x2+k, …, xn+k  x + k En una serie estadística, si multiplicamos por una constante k a todos y cada uno de los valores de la variable (xi), la media de la nueva serie resultante será la anterior multiplicada por la constante k. x1, x2, …xn  x x1.k, + x2.k, …xn.k  x . k

MEDIANA Y CUARTILES En una serie estadística de variable continua, o bien de variable discreta formando clases, el primer cuartil, el segundo cuartil o mediana, y el tercer cuartil, se hallan de la forma: (n/4) – FQ1-1 Q1=e1 + -------------------.c fQ1-1 (n/2) – FQ2-1 Md = Q2=e2 + -------------------.c fQ2-1 (3n/4) – FQ3-1 Q3=e3 + -------------------.c fQ3-1 Siendo: e1 el límite inferior del intervalo o clase. c la amplitud de la clase. n el número total de elementos de la serie. FQ1-1 ,la frecuencia absoluta acumulada de la clase anterior a la que contiene el cuartil. fQ1-1 la frecuencia absoluta de la clase anterior a la que contiene el cuartil.

Ejemplo Clase fi fr Fi [0, 4) 8 0,04 [4, 8) 27 0,135 35 [8, 12) 50 0,25 85 [12, 16) 60 0,30 145 [16, 20) 37 0,185 182 [20, 24] 18 0,09 200 Hallar primer cuartil , mediana, y el tercer cuartil. (n/4) – FQ1-1 Q1=e1 + -------------------.c fQ1-1 (200/4) – 35 Q1= 8 + -------------------.4 = 27 = 8 + 0,5555.4 = 8 + 2,2222 = 10,2222

Ejemplo Clase fi fr Fi [0, 4) 8 0,04 [4, 8) 27 0,135 35 [8, 12) 50 0,25 85 [12, 16) 60 0,30 145 [16, 20) 37 0,185 182 [20, 24] 18 0,09 200 (n/2) – FQ2-1 Md = Q2=e2 + -------------------.c fQ2-1 (200/2) – 85 Md = Q2 = 12 + -------------------. 4 = 50 15 Md = 12 + ------. 4 = 12 + 1,2 = 13,2

Ejemplo Clase fi fr Fi [0, 4) 8 0,04 [4, 8) 27 0,135 35 [8, 12) 50 0,25 85 [12, 16) 60 0,30 145 [16, 20) 37 0,185 182 [20, 24] 18 0,09 200 (3n/4) – FQ3-1 Q3 = e3 + -------------------.c fQ3-1 (3.200/4) – 145 Q3 = 16 + -----------------------. 4 = 60 5 = 16 + -----. 4 = 16+0,3333 = 16,3333