Funciones polinómicas y potencias Función potencia. Ceros (raíces) de funciones polinomiales. Gráfica de la función polinomial. Proporcionalidad directa e inversa. Matemática Básica(Ing.)

Función polinomial Sea n un entero no negativo y sean a0, a1, a2,…, an-1, an números reales, con an ≠ 0. La función dada mediante f (x) = an xn + an-1 xn-1 + … + a2 x2 + a1 x + a0 es una función polinomial de grado n. El coeficiente principal (o líder) es an. La función cero f (x) = 0 es una función polinomial. No tiene grado y no tiene coeficiente principal. Ejercicios: 3, 5 y 6 de la Pág. 182 Matemática Básica(Ing.)

Funciones polinomiales. Nombre Forma Grado Función cero f (x) = 0 No definido Función constante f (x) = a (a ≠ 0) Función lineal f (x) = ax + b (a ≠ 0) 1 Función cuadrática f (x) = ax2 + b x + c (a ≠ 0) 2 Matemática Básica(Ing.)

Funciones cuadráticas y sus gráficas Una función cuadrática es una función polinomial de grado 2 y por lo tanto tiene la forma f (x) = a x2 + bx + c, donde a, b y c son constantes y a ≠ 0. Su gráfica es una parábola cuya forma dependerá de los valores de a, b y c. Por ejemplo cuando a = 1, b = 0 y c = 0, Ejercicios: 19, 21 y 22 de la Pág. 182. Matemática Básica(Ing.)

Forma del vértice de una función cuadrática Cualquier función cuadrática f (x) = a x2 + bx + c, con a ≠ 0, puede escribirse en la forma del vértice La gráfica de f es una parábola de vértice (h, k) y eje x = h, donde h = -b/(2a) y k = f (h), además la parábola: Se abre hacia arriba si a > 0. Se abre hacia abajo si a < 0. Matemática Básica(Ing.)

Valores extremos de una función cuadrática Matemática Básica(Ing.)

Caracterización de la naturaleza de una función cuadrática Punto de vista Caracterización Verbal Polinomio de grado 2 Algebraica f (x) = a x2 + b x + c o f (x) = a (x - h)2 + k, (a ≠ 0) Gráfica Parábola de vértice (h, k) y eje x=h, abre hacia arriba si a > 0; abre hacia abajo si a < 0. Valor inicial f (0) = c, intersecciones en x: Matemática Básica(Ing.)

Movimiento vertical en caída libre Un proyectil se lanza directamente hacia arriba desde el nivel del piso con una velocidad inicial de 256 pies/seg. Determine: ¿Después de cuánto tiempo el proyectil alcanza la altura máxima? ¿Cuál es la altura máxima? Ejercicios (Pág. 182 -183): 27, 31, 35, 37, 54 y 55. Matemática Básica(Ing.)

Función potencia Cualquier función que se pueda escribir en la forma (donde k y a son constantes diferentes de cero) es una función potencia. La constante a es la potencia (exponente) y k es la constante de variación o constante de proporcionalidad. Ejercicios: 18, 19, 20, 23, 25 y 52 de las Pág. 197-198 Matemática Básica(Ing.)

Ceros (raíces) de funciones polinomiales Determinar los ceros, que sean números reales de una función f, es equivalente a determinar las intersecciones x de la gráfica de y = f (x) o las soluciones de la ecuación f (x) = 0. Ejercicios: 33, 35 y 37 de la Pág. 210 Matemática Básica(Ing.)

Gráficas de funciones polinomiales La gráfica de una función polinomial f(x) es una curva “suave”, contínua que se extiende desde el extremo izquierdo del eje hasta el derecho. Para graficar: Determine los ceros, Determine los signos en los intervalos que definen los ceros. Matemática Básica(Ing.)

Desigualdades lineales Una desigualdad polinomial toma la forma f(x) > 0, f(x) ≥ 0, f(x) < 0, f(x) ≤ 0, donde f(x) es un polinomio. Ejemplo Sea Determine los valores reales de x, que hacen que f(x) sea Cero Positiva Negativa Matemática Básica(Ing.)

Significado geométrico de las desigualdades Resolver f(x) > 0 es determinar los valores de x que hacen f(x) positiva. Resolver f(x) < 0 es determinar los valores de x que hacen f(x) negativa. Si la expresión f(x) es un producto, podemos determinar su signo mediante la determinación del signo de cada uno de sus factores. Matemática Básica(Ing.)

Ejemplo Dibuje la gráfica de f(x)= x3 - x2 - 6x 1. Intersecciones con los ejes coordenados: Eje de las x: Se hace y = 0. Eje de las y: Se hace x = 0. 2. Signo de la función en cada intervalo, determinados por los ceros de f. Matemática Básica(Ing.)

Proporcionalidad directa e inversa. En un gas ideal encerrado en un recipiente cuyo volumen puede variar se observa que: Si la temperatura no cambia la presión es inversamente proporcional al volumen. Si el volumen no cambia, la presión es directamente proporcional a la temperatura absoluta. ¿Cómo se puede escribir el enunciado con una fórmula? Matemática Básica(Ing.)

Importante Los alumnos deben revisar los ejercicios del libro texto guía. Sobre la tarea, está publicada en el AV Moodle. Matemática Básica(Ing.)