Distribución de Probabilidades REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA. MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN UNIVERSIDAD "GRAN MARISCAL DE AYACUCHO" NUCLEO - EL TIGRE INGENIERIA EN MANTENIMIENTO INDUSTRIAL Distribución de Probabilidades Integrantes: Iris Guerra Milagro Salazar C.I 17.745.430 Julio Fernando EL TIGRE; JUNIO DEL 2009

PUNTOS A TRATAR: VARIABLES ALEATORIAS DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD Y FUNCIONES DE DENSIDAD. VALOR ESPERADO DISTRIBUCION UNIFORME CONTINUA APROXIMACION NORMAL A LA DISTRIBUCION DE POISSON Y BINOMIAL DISTRIBUCION EXPONENCIAL

VARIABLES ALEATORIAS: Es un valor numérico que corresponde al resultado de un experimento aleatorio, como la suma de los puntos obtenidos al lanzar dos dados, el número de lanzamientos de un dado hasta que aparece el cuatro, el número de personas que suben en un determinado ascensor al mes, el tiempo de espera en la sala de un doctor...

VARIABLES ALEATORIAS: Dado un experimento aleatorio cualquiera cuyos sucesos elementales posibles pueden identificarse fácilmente mediante un número real, se denomina Variable Aleatoria, X, al conjunto de estos números. También se le llama variable de azar o variable estocástica, y significa cantidad que puede tomar varios valores imprevistos.

EJEMPLO 1 DE VARIABLE ALEATORIA: Sea el experimento aleatorio de lanzar un dado al aire. Los posibles resultados del experimento son los siguientes: <<Que salga 1>>, <<Que salga 2>>, <<Que salga 3>>, X= 1, 2, 3, 4, 5, 6 <<Que salga 4>>, <<Que salga 5>> y <<que salga 6>>.

EJEMPLO 2 DE VARIABLE ALEATORIA: Sea el experimento aleatorio de averiguar la marca de tabaco que preferirá un individuo entre las posibles marcas: <<X>>, <<Y>>, <<Z>>. <<Preferir la marca X>> se le hace corresponder el número 1; <<Preferir la marca Y>> se le hace corresponder el número 2; <<Preferir la marca Z>> se le hace corresponder el número 3. La variable aleatoria X será: X = (1, 2, 3).

VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS Son aquellas que pueden tomar solamente un número finito o un número infinito numerable de valores. A este nivel, las únicas variables aleatorias que consideraremos son aquellas que toman un número finito de valores. Un ejemplo de este tipo de variable aleatoria seria el resultado de lanzar un dado.

VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS Son aquellas que pueden tomar cualquier valor en un intervalo de la recta real. Un ejemplo de este tipo de variable aleatoria seria la altura de una persona. Si X es una Variable aleatoria continua, puede tomar cualquier valor de un intervalo continuo o dentro de un campo de variación dado. Las probabilidades de que ocurra un valor dado x están dadas por una función de densidad de probabilidad de que X quede entre a y b. El área total bajo la curva es 1.

EJEMPLO DE VARIABLE ALEATORIA CONTINUA Sea el experimento aleatorio consistente en medir la altura que es capaz de saltar cada miembro de un conjunto de personas. En este experimento, cada miembro del conjunto observado da lugar a un número, por lo que se toma como variable aleatoria el conjunto de las medidas de las alturas que son capaces de saltar las distintas personas.

VARIABLE ALEATORIA DISCONTINUA En general, una variable aleatoria discreta X representa los resultados de un espacio muestral en forma tal que por P(X = x)se entenderá la probabilidad de que X tome el valor de x. De esta forma, al considerar los valores de una variable aleatoria es posible desarrollar una función matemática que asigne una probabilidad a cada realización x de la variable aleatoria X. Esta función recibe el nombre de función de la probabilidad.

EJEMPLO DE VARIABLE ALEATORIA DISCONTINUA Sea el experimento aleatorio consistente en lanzar una moneda al aire. Los sucesos elementales del experimento, <<que salga cara>>, <<que salga cruz>>, no vienen representados por los números, por lo que casa suceso elemental se le hace corresponder un número real. Así al suceso elemental <<que salga cara>> se le hace corresponder el número “1” y al suceso elemental <<que salga cruz>> se le hace corresponder el número “2”. La variable aleatoria será:X=(1,2).

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD Y FUNCIÓN DE DENSIDAD Indica en una lista todos los resultados posibles de un experimento, junto con la probabilidad correspondiente a cada uno de los resultados. Toda distribución de probabilidad es generada por una variable (porque puede tomar diferentes valores) aleatoria x (porque el valor tomado es totalmente al azar), y puede ser de dos tipos: 1. Variable aleatoria discreta (x). Porque solo puede tomar valores enteros y un número finito de ellos. 2. Variable aleatoria continua (x). Porque puede tomar tanto valores enteros como fraccionarios y un número infinito de ellos dentro de un mismo intervalo.

¿Cómo generamos una distribución de probabilidad? EJEMPLO: Supongamos que se quiere saber el numero de caras que se obtienen al lanzar cuatro veces una moneda al aire? Los posibles resultados son: cero caras, una cara, dos caras, tres caras y cuatro caras.

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES EL ESPACIO MUESTRAL: NUMERO DE CARAS FRECUENCIA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES 1 1/16 4 4/16 2 6 6/16 3

Densidad de Probabilidad En estadística, la función de densidad de probabilidad o simplemente función de densidad, de una variable aleatoria continua representada comúnmente como f(x), se utiliza con el propósito de conocer cómo se distribuyen las probabilidades de un suceso o evento, en relación al resultado del suceso.

Densidad de Probabilidad DEFINICIÓN: Formalmente, la fdp de una variable aleatoria X es la derivada (ordinaria o en el sentido de las distribuciones) de la función de distribución F(x), o de manera inversa, la función de distribución es la integral de la función de densidad:

VALOR ESPERADO DEFINICIÓN: El valor esperado de una variable aleatoria es su valor medio. El valor esperado de una variable aleatoria se denotará por E(X). Se colocará entre paréntesis el nombre de la variable aleatoria al que se le está calculando el valor esperado. El valor esperado es un número. Ese número pertenece al conjunto cuyos extremos son el mínimo valor y el máximo valor que toma la variable aleatoria. Supongamos que hemos realizado n veces un experimento aleatorio que genera una variable X. El valor medio del experimento en esta n repeticiones es la suma de los productos de los valores de la variable por su frecuencia relativa.

VALOR ESPERADO Cuando n sea igual a infinito, el valor medio del experimento se llama valor esperado o esperanza matemática, E[X].        Si X es una variable discreta con función d probabilidad f(x), el valor esperado de X se calcula según decíamos anteriormente sumando los productos de los valores de la variable por sus respectivas probabilidades. En el caso de una variable continua

EJEMPLO El valor esperado cuando tiramos un dado equilibrado de 6 caras es 3,5. Podemos hacer el cálculo

DISTRIBUCIÓN UNIFORME CONTINUA En teoría de probabilidad y estadística, la distribución uniforme continua es una familia de distribuciones de probabilidad para variables aleatorias continuas, tales que cada miembro de la familia, todos los intervalos de igual longitud en la distribución en su rango son igualmente probables. El dominio está definido por dos parámetros, a y b, que son sus valores mínimo y máximo. La distribución es a menudo escrita en forma abreviada como U(a,b).

DISTRIBUCIÓN UNIFORME CONTINUA En el caso de variable continua la distribución de probabilidad es la integral de la función de densidad, por lo que tenemos entonces que: Sea X una va continua, una distribución de probabilidad o función de densidad de probabilidad (FDP) de X es una función f(x) tal que, para cualesquiera dos números a y b siendo .

DISTRIBUCIÓN UNIFORME CONTINUA La gráfica de f(x) se conoce a veces como curva de densidad, la probabilidad de que X tome un valor en el intervalo [a,b] es el área bajo la curva de la función de densidad; así, la función mide concentración de probabilidad alrededor de los valores de una variable aleatoria continua. área bajo la curva de f(x) entre a y b

DISTRIBUCIÓN UNIFORME CONTINUA PARA QUE F(X) SEA UNA FDP (FDP = F(X)) SEA LEGÍTIMA, DEBE SATISFACER LAS SIGUIENTES DOS CONDICIONES: F(X) 0 PARA TODA X. YA QUE LA PROBABILIDAD ES SIEMPRE UN NÚMERO POSITIVO, LA FDP ES UNA FUNCIÓN NO DECRECIENTE QUE CUMPLE:   1. . ES DECIR, LA PROBABILIDAD DE TODO EL ESPACIO MUESTRAL ES 1. 2. . ES DECIR, LA PROBABILIDAD DEL SUCESO NULO ES CERO. ALGUNAS FDP ESTÁN DECLARADAS EN RANGOS DE A , COMO LA DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL.

Ejemplo Una empresa tiene una curva de costos dada por la función C =1.000+2x ; siendo X el número de artículos. En el mercado vende cada unidad a $5. La demanda de artículos es uniforme entre 25.000 y 30.000 unidades. Cuál es el beneficio esperado?

Solución X : Variable aleatoria que nos representa la demanda de los artículos X ~ U(25.000; 30.000);10 Sea B : El beneficio o utilidad, donde la función de utilidad la establecemos de la forma, ventas totales, menos, costos totales, así: B = 5 X - ( 1.000 + 2 X) B = 3X - 1.000 Luego, el beneficio esperado es:

DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL La distribución exponencial es el equivalente continuo de la distribución geométrica discreta. Esta ley de distribución describe procesos en los que: Nos interesa saber el tiempo hasta que ocurre determinado evento, sabiendo que, el tiempo que pueda ocurrir desde cualquier instante dado t, hasta que ello ocurra en un instante tf, no depende del tiempo transcurrido anteriormente en el que no ha pasado nada.

DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL La variable aleatoria x tiene una distribución exponencial, con parámetro, si su función de densidad es: Donde   0 La media y la variancia de la distribución exponencial son:    y 2  2 , x  0 ; f(x) = 0 en cualquier otro caso

DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL Relación con el proceso POISSON: La relación entre la distribución exponencial (con frecuencia llamada exponencial negativa) y el proceso llamado de Poisson es bastante simple. La distribución de Poisson se desarrolló como una distribución de un solo parámetro, donde  puede interpretarse como el número promedio de eventos por unidad de “tiempo”.

EJEMPLO Suponga que un sistema contiene cierto tipo de componente cuyo tiempo de falla en años está dado por la variable aleatoria T, distribuida exponencialmente con tiempo promedio de falla . S í 5 de estos componentes se instalan en diferentes sistemas, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 2 continúen funcionando después de 8 años?

Solución: La probabilidad de que un determinado componente esté funcionando aún después de 8 años es: La | nos indica que la integral se va a evaluar desde 8 hasta  Sea x el número de componentes funcionando después de 8 años. Entonces mediante la distribución Binomial, n = 5 p = 0.20 = probabilidad de que un componente esté funcionando después de 8 años q = 1-p = 0.80 = probabilidad de que un componente no funcione después de 8 años  P(x  2 ) = p(x=2) + p(x=3) + p(x=4)+p(x=5) = 1 – p(x = 0, 1)  

APROXIMACION NORMAL A LA DISTRIBUCION DE POISSON Y BINOMIAL UNA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD AMPLIAMENTE UTILIZADA DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA ES LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL. ESTA DESCRIBE VARIOS PROCESOS DE INTERÉS PARA LOS ADMINISTRADORES. DESCRIBE DATOS DISCRETOS, RESULTANTES DE UN EXPERIMENTO DENOMINADO PROCESO DE BERNOULLI EN HONOR DEL MATEMÁTICO SUIZO JACOB BERNOULLI, QUIEN VIVIÓ EN EL SIGLO XVII. EMPLEO DEL PROCESO DE BERNOULLI. PODEMOS SERVIRNOS DE LOS RESULTADOS DE UN NÚMERO FIJO DE LANZAMIENTOS DE UNA MONEDA COMO EJEMPLO DE UN PROCESO DE BERNOULLI. ESTE PROCESO LO DESCRIBIMOS ASÍ:   LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE POISSON ES UN EJEMPLO DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DISCRETA. LA DISTRIBUCIÓN DE POISSON PARTE DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL.

APROXIMACION NORMAL A LA DISTRIBUCION DE POISSON Y BINOMIAL SE DICE QUE EXISTE UN PROCESO DE POISSON SI PODEMOS OBSERVAR EVENTOS DISCRETOS EN UN ÁREA DE OPORTUNIDAD – UN INTERVALO CONTINUO (DE TIEMPO, LONGITUD, SUPERFICIE, ETC.) – DE TAL MANERA QUE SI SE REDUCE LO SUFICIENTE EL ÁREA DE OPORTUNIDAD O EL INTERVALO, LA PROBABILIDAD DE OBSERVAR EXACTAMENTE UN ÉXITO EN EL INTERVALO ES CONSTANTE. LA PROBABILIDAD DE OBTENER MÁS DE UN ÉXITO EN EL INTERVALO ES 0. LA PROBABILIDAD DE OBSERVAR UN ÉXITO EN CUALQUIER INTERVALO ES ESTADÍSTICAMENTE INDEPENDIENTE DE LA DE CUALQUIER OTRO INTERVALO. ESTA DISTRIBUCIÓN SE APLICA EN SITUACIONES COMO: EL NUMERO DE PACIENTES QUE LLEGAN AL SERVICIO DE EMERGENCIA DE UN HOSPITAL EN UN INTERVALO DE TIEMPO. EL NUMERO DE RADIACIONES RADIACTIVAS QUE SE RECIBE EN UN LAPSO DE TIEMPO, EL NUMERO DE GLÓBULOS BLANCOS QUE SE CUENTAN EN UNA MUESTRA DADA. EL NUMERO DE PARTOS TRIPLES POR AÑO

APROXIMACION NORMAL A LA DISTRIBUCION DE POISSON Y BINOMIAL La expresión matemática para la distribución de Poisson para obtener X éxitos, dado que se esperan l éxitos es: Donde: P(X) = probabilidad de X éxitos dado el valor de l l = esperanza del número de éxitos. e = constante matemática, con valor aproximado 2.711828 X = número de éxitos por unidad

APROXIMACION NORMAL A LA DISTRIBUCION DE POISSON Y BINOMIAL Características: En este tipo de experimentos los éxitos buscados son expresados por unidad de área, tiempo, pieza, etc, etc,: - # de defectos de una tela por m2 - # de aviones que aterrizan en un aeropuerto por día, hora, minuto, etc, etc. - # de bacterias por cm2 de cultivo - # de llamadas telefónicas a un conmutador por hora, minuto, etc, etc. - # de llegadas de embarcaciones a un puerto por día, mes, etc, etc.

APROXIMACION NORMAL A LA DISTRIBUCION DE POISSON Y BINOMIAL Para determinar la probabilidad de que ocurran x éxitos por unidad de tiempo, área, o producto, la fórmula a utilizar sería: donde: p(x, ) = probabilidad de que ocurran x éxitos, cuando el número promedio de ocurrencia de ellos es   = media o promedio de éxitos por unidad de tiempo, área o producto  = 2.718 x = variable que nos denota el número de éxitos que se desea que ocurra

APROXIMACION NORMAL A LA DISTRIBUCION DE POISSON Y BINOMIAL UTILIDAD  La distribución de Poisson se utiliza en situaciones donde los sucesos son impredecibles o de ocurrencia aleatoria. En otras palabras no se sabe el total de posibles resultados. Permite determinar la probabilidad de ocurrencia de un suceso con resultado discreto. Es muy útil cuando la muestra o segmento n es grande y la probabilidad de éxitos p es pequeña. Se utiliza cuando la probabilidad del evento que nos interesa se distribuye dentro de un segmento n dado como por ejemplo distancia, área, volumen o tiempo definido.  

EJEMPLO: Ejemplo: Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondo por día, ¿cuáles son las probabilidades de que reciba, a) cuatro cheques sin fondo en un día dado, b) 10 cheques sin fondos en cualquiera de dos días consecutivos? Solución: a)      x = variable que nos define el número de cheques sin fondo que llegan al banco en un día cualquiera = 0, 1, 2, 3, ....., etc, etc.  = 6 cheques sin fondo por día  = 2.718

CONCLUSIONES Si bien no hay una definición de estadística exacta, se puede decir  que   la "estadística es el estudio de los métodos y procedimientos para recoger, clasificar, resumir y analizar datos y para hacer inferencias científicas partiendo de tales datos". Es importante observar que el objeto del que realiza el análisis estadístico son los datos y las observaciones científicas por sí mismos, mas que el material químico que interviene en el estudio. Por lo tanto no es posible trazar límites rígidos entre la química, la estadística y la matemática. Es interesante resaltar que el valor esperado de una variable aleatoria no coincide, en general, con un valor posible de la misma En el estudio de la probabilidad, específicamente de las distribuciones binomiales, podemos encontrar diversas formas de distribución, dependiendo de las características de los valores estudiados.

GRACIAS POR SU ATENCIÓN