U NIVERSIDAD PEDAGÓGICA NACIONAL F RANCISCO M ORAZÁN C NC -383 F ÍSICA MODERNA II DENSIDAD DE PROBABILIDAD Presentado por: Kenia Auristela Martínez María Lourdes Monzón Catedrático: Armando Euceda, Ph.D. Julio del 2008

F UNCIÓN GAUSSIANA 2 Kenia Martínez y Lourdes Monzón 34.1% Campana de Gauss ó una Gaussiana Ψ(x) x Ψ(x)= 13.6 %

Considere la distribución Gaussiana normalizada donde A, a y λ son constantes. Debemos saber ¿Qué significa ρ(x)? ψ(x): función de onda (estado) Ψ*(x): complejo conjugado de ψ(x) Por definición ρ(x) = ψ*(x) ψ(x) = ψ(x) ² 3 Kenia Martínez y Lourdes Monzón

1.- Encuentre el valor de A Sabemos que Entonces tenemos 4 Kenia Martínez y Lourdes Monzón

Ahora calculamos la integral: Recordemos que : haciendo u = x – a, du = dx Por lo tanto 5 Kenia Martínez y Lourdes Monzón ver normalización de la función

2.- Encontrar el valor esperado de x ², es decir ‹x²› Por definición el “Valor esperado de x 2 es Por lo tanto Haciendo cambio de variable u= (x – a) du = dx sea x= (u+a) por lo tanto x 2 = ( u +a ) 2 = u 2 +2au +a 2 Cuando x es+∞, u también es + ∞ y cuando x es –∞ u también es – ∞ 6 Kenia Martínez y Lourdes Monzón

Por lo tanto al sustituir tenemos que: Separando las integrales tenemos: Tomando la primera Integral : se resuelve utilizando el truco de Feynmantruco de Feynman 7 Kenia Martínez y Lourdes Monzón solución del truco de Feynman

Tomando la segunda integral es una función impar por lo tanto su integral es cero. Sabemos que la solución de la integral: siendo a constante es: Además conocemos el valor de 8 Kenia Martínez y Lourdes Monzón ver normalización de la función

Por lo tanto al resolver la integral aplicamos lo Anterior: 0 Continuando con la solución de nuestra integral 9 Kenia Martínez y Lourdes Monzón

Sustituyendo los valores de las integrales que conocemos tenemos: Por lo que el valor esperado para esta distribución es: 10 Kenia Martínez y Lourdes Monzón

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Presentado por : Kenia Auristela Martínez M. María Lourdes Monzón. Física Moderna II Catedrático: Armando Euceda Ph. D. Agosto del 2008

Para poder resolver la integral de la forma: Sabemos la solución de la integral Se aplica el truco de Feynman, agregando a ambos lados de la integral el siguiente operador:

Resolvemos encontrando la derivada parcial en el lado derecho de la ecuación

Al encontrar el diferencial en el lado derecho de la expresión obtenemos:

Por lo tanto la solución de la integral es:

GRACIAS

Presentado por : Kenia Auristela Martínez María Lourdes Monzón Física Moderna II Catedrático: Armando Euceda P h. D Agosto del 2008 N ORMALIZACIÓN DE UNA F UNCIÓN G AUSSIANA

Kenia Martínez 20 Dada la función Gaussiana 1.- Normalizar la función 2.- Encontrar el valor de A Para esto debemos saber que:

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Kenia Martínez 22 Tomando una función genérica Donde Consideramos dos integrales, Luego

Kenia Martínez 23 Hacemos la conversión a coordenadas Polares diferencial de área s ds dr r dθdθ θ

Kenia Martínez 24 Para resolver la integral Sea Luego:

Kenia Martínez 25 Como Entonces integramos hacia - ∞ Como

Kenia Martínez 26 Luego Al sustituir Entonces La función queda normalizada

¡¡ M UCHAS G RACIAS !! Kenia Martínez 27