INTRODUCCION AL ALGEBRA Docente: Cristina cano Cifuentes Jornada Nocturna Instituto Manizales INTRODUCCION AL ALGEBRA

El algebra el algebra es una extensión de la aritmética en la cual se desconoce el valor de una de las cantidades con las que se opera. Es la rama de las matemáticas que estudia estructuras, relaciones y cantidades. Se trabaja con las mismas reglas que en la aritmética agregando un par de conceptos tales como las formulas y las ecuaciones. En el Algebra se estudia los números de el modo mas general posible.

En el algebra los números son representados por símbolos tales como a,b,x,y En el algebra se usan letras para representar números o usamos letras para la demostración de reglas y formulas para mostrarlo de una manera general que es apta para cualquier numero lo que hace de estas reglas generales para cualquier numero existente. Al usar letras para estas formulas estamos hablando en lenguaje algebraico o notación algebraica.

Símbolos algebraicos básicos: Suma                           + Resta                           - Multiplicación               x, ( )( ), • ,  División                        ÷, /  Radicación                   √ Agrupación                  ( ), { }, [ ], ¯ Es igual a                     = Es mayor que               > Es menor que               < Es mayor o igual que    ≥ Es menor o igual que    ≤

En el caso de la multiplicación cuando dos letras se asume que se esta multiplicando así si tenemos “ab” estamos diciendo que “a” esta multiplicando a “b”, o en paréntesis (a)(b) también es “a” por “b”.  Y la división se puede expresar como una fracción a/b.  En general una combinación de símbolos y signos del algebra representa a un numero y se llama una expresión algebraica. Ejemplo: 5abx + 258bx – 36ay

La parte de la expresión algebraica que no se encuentra separada por un signo de suma o resta se llama término Del ejemplo anterior son términos:                     5abx;   258bx;   -36ay Otros términos son:                                           -4k;   3x/4mn;  5/3√y Todos los términos poseen un signo, un coeficiente y una parte literal, así:                   Término           Signo              coeficiente               literal                   -59ax                  -                         59                           ax                   8v³                      +                         8                             v³                   xyz                      +                         1                            xyz                   -89                     -                          89                          

LENGUAJE ALGEBRAICO El lenguaje algebraico utiliza letras en combinación con números y signos y además las trata con números en operaciones y propiedades se llama lenguaje algebraico. El lenguaje es mas preciso que el lenguaje numérico permite expresar relaciones y propiedades numéricas. Si queremos representar la mitad de un numero seria: X/2

Ocho menos algún otro numero: 8-X Para representar el doble de la suma de dos números seria: 2 (A+B) La Resta de tres números: A-B-C

LEY DE SIGNOS Par indicar las operaciones algebraicas fundamentales (adición sustracción multiplicación y división). Se emplea en general los mismos signos de aritmética la regla de signos para multiplicar es la siguiente Mas por mas= a mas Menos por menos= a mas Menos por mas= a menos Mas por menos= a menos

SIGNOS DE AGRUPACION ( ) [ ] {} Recordemos siempre que cuando delante de un numero no hay signo se entiende que su signo es positivo. Los distintos signos de agrupación estos son los paréntesis los corchetes y las llaves aunque también puedan encontrarse en uso las barras verticales. ( ) [ ] {}

Colocar el signo positivo garantiza que las cantidades que ingresan no reciben alteración alguna Esto se lleva acabo colocando el signo positivo delante del signo de agrupación izquierdo y dentro se quedan los números con su signo sin agrupación.

Términos semejantes Se llaman términos semejantes aquellos que tienen la misma o las mismas literales y están elevados a la misma potencia. Ejemplo: 7a² y 3a² Son términos semejantes. 10a² y 4b No son términos semejantes

RESTA ALGEBRAICA O SUSTRACCION La resta algebraica es la operación binaria que tiene como objetivo hallar un sumando desconocido Se dice finalizado o completa si todos los términos semejantes entre minuendo y sustraendo han sido totalmente simplificados. Ejemplo: -3a² 5a² = -2a²

PROPIEDAD DE CERRADURA: la resta o diferencia de dos polinomios dará como resultado otro polinomio. NO HAY PROPIEDAD CONMUTATIVA: el orden de minuendo y sustraendo si altera el resultado de la RESTA. Sean A y B dos polinomios, entonces se cumple que A-B¹B-A NO HAY PROPIEDAD ASOCIATIVA: la resta solo puede hacerse entre dos polinomios

Suma o adición algebraica La suma algebraica es la operación binaria que tiene como objetivo el reunir dos o mas sumas (expresiones algebraicas) es una sola expresión llamada suma o adición Se dice finalizada la operación cuando todos los términos semejantes han sido simplificados correctamente.

PROPIEDAD DE CERRADURA. La suma de dos o mas polinomios dará como resultado otro polinomio PROPIEDAD CONMUTATIVA. El orden de los sumandos no afecta el resultado de la suma sean a y b dos polinomios entonces se cumple que. A+B= AB. PROPIEDAD ASOCIATIVA: sean A,B,C entonces será. (A+B)+C = A+(B+C)

PROPIEDAD NEUTRO O ADITIVO: Al sumarse con otro polinomio no lo altera este neutro es el 0 sean A y 0 se cumple. A+0 = A PROPIEDAD INVERSO ADICTIVO: sean A y –A polinomios que son inversos aditivos entre si entonces será. A + (-A) = 0

MULTIPLICACION Para la multiplicación algebraica se mantienen las mismas leyes que para la multiplicación aritmética, las cuales son el producto de dos o más potencias de la misma base es igual a la base elevada a la suma de las potencias. (xm) (xn) = xm + n el coeficiente del producto de dos o más expresiones algebraicas es igual al producto de los coeficientes de los factores. (4x) (5y) = 4 · 5 · x · y = 20xy

La multiplicación también cumple la propiedad asociativa, que consiste en que, para tres números cualquiera x, y, z, se cumple: (x·y)z = x(y·z) En la notación algebraica, los paréntesis indican que las operaciones dentro de los mismos deben ser realizadas con preferencia a cualquier otra operación. Por ejemplo: (8×3)×2 = 8×(3×2) 24×2 = 8×6 48 = 48

MULTIPLICACION DE MONIMIOS Se le llama multiplicación de monomios a la multiplicación de un solo término por otro término Reglas: Se multiplica él termino del multiplicando por él termino del multiplicador. Se suman los exponentes de las literales iguales. Se escriben las literales diferentes en un solo término resultado. Se coloca el signo de acuerdo con las reglas de los signos vistas anteriormente.

Propiedad distributiva La multiplicación también tiene lo que se llama propiedad distributiva con la suma, porque: x.(y + z) = x.y + x.z Asimismo: (x + t).(y + z) = x(y + z) + t(y + z) = xy + xz + ty + tz 9x(3+5)= (9x3)+(9x5)27+45=72 Elemento neutro Es de interés saber que cualquier número multiplicado por 1 es igual a sí mismo. Ejemplo: 1·x = x es decir, la multiplicación tiene un elemento neutro que es el 1

MULTIPLICACION DE POLINOMIOS Multiplicación de monomios con polinomios Se le llama multiplicación de monomios con polinomios cuando un solo factor se encuentra multiplicando a un polinomio Reglas: Se multiplica el término del monomio por cada término del polinomio, sumando los exponentes de las literales iguales. Se coloca el signo de acuerdo con las reglas de los signos vistas anteriormente Se encuentra la suma algebraica de los productos parciales.

Multiplicación de un número por un polinomio Propiedad conmutativa Utilizando esta definición, es fácil demostrar algunas propiedades interesantes de la multiplicación. Como indican los dos primeros ejemplos, el orden en que se multiplican dos números es irrelevante, lo que se conoce como propiedad conmutativa, y se cumple en general para dos números cualquiera x e y: x·y = y· x

MULTIPLICACION SUCECIVAS Producto continuado de polinomios. Es cuando son más de dos los polinomios a multiplicar. Procedimiento Se efectúa la multiplicación de dos factores cualquiera Se multiplica el resultado de la operación anterior con el tercer factor y así se sigue sucesivamente. Ejemplo                    z(5 – z)(z + 2)(z - 9) Lo desarrollaremos de dos maneras Primera forma (factor por factor)

Supresión de signos de agrupación con productos indicados Cuando un signo de agrupación tenga coeficiente que no sea 1 (que se sobreentiende si no tiene coeficiente), hay que multiplicar todos los términos encerrados en ese signo de agrupación por ese coeficiente, aplicando siempre la regla de los signos y se suprime dicho signo de agrupación. Ejemplo -(x + y)[-3(a + 3b + 7)] = (- x - y)(- 3a - 9b - 21)

DIVISION ALGEBRAICA Es la operación que tiene por objeto, dado el producto de dos factores dividendo y uno de los factores divisor encontrar otro factor llamado cociente: D = d · C Donde:       D es el Dividendo (producto de  los factores “d” y “C”)                         d es el divisor (factor conocido)                         C es el cociente (factor desconocido) Los factores “D”, “d” y “C” pueden ser números, monomios o polinomios.

REGLAS PARA DIVIDIR Si el resultado es negativo si la cantidad de factores negativos es impar, de lo contrario es positivo. PARA LOS COEFICIENTES el coeficiente del cociente es el cociente de dividir el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor.                          mx ÷ nxy = (m ÷ n)(x ÷ xy) PARA LAS POTENCIAS : la división  de dos o más potencias de la misma base es igual a la   base elevada a la diferencia de las potencias. resulta útil y cómodo colocar la división como una expresión fraccionaria.