Producto Cartesiano y Relaciones Binarias

¿Qué es el Plano Cartesiano? El plano cartesiano está determinado por el espacio que se forma al interceptar dos rectas llamadas ejes de coordenadas: El eje horizontal recibe el nombre de eje x o de abscisas. El eje vertical recibe el nombre de eje y o de ordenadas. En ambos ejes se pueden representar los números enteros y se cruzan en el cero.

Cómo representar un punto en el Plano 1. Para localizar la abscisa o valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia la derecha si son positivas o hacia a izquierda si son negativas, a partir del punto de origen, en este caso el cero. 2. Desde ese punto en el eje de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia arriba si son positivas o hacia abajo, si son negativas en el eje y, y de esta forma se localiza cualquier punto dadas sus coordenadas. Ejemplos: Localizar los puntos A ( -4, 5 ) y B ( 3, -5 ) en el plano cartesiano.

A ( -4, 5 ) B ( 3, -5 )

Ejercicios: Localiza en el plano cartesiano los siguientes puntos: M (1,-4) ; N ( 0, 4) ; P (5, 1) ; Q (-5, 0) ; R ( -3,-4)

A × B = { (x,y) / x  A ^ y  B } Producto Cartesiano El producto cartesiano de dos conjuntos A y B, denotado A × B, es el conjunto de todos los posibles pares ordenados cuyo primer componente es un elemento de A y el segundo componente es un elemento de B. A × B = { (x,y) / x  A ^ y  B }

Producto Cartesiano Ejemplo: Si A = { a , b , c } y B = { 1 , 2 } A x B = { (a,1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2) } Note que: A tiene 3 elementos B tiene 2 elementos A x B tiene 6 elementos.

Producto Cartesiano Ejemplo: A = { corazón, trébol, diamante, espada } A x B = { (corazón, 1); (corazón,2); … ;(corazón,12); (trébol,1); (trébol,2); … ;(trébol,12); …;(diamante,1) … ;(diamante,12); … ;(espada,1); … ;(espada,12) } Note que: A tiene 4 elementos B tiene 12 elementos A x B tiene 48 elementos (todas las cartas del mazo)

Producto Cartesiano Representación en forma de Tabla Ejemplo: A = { a, b , c } B = { 1, 2, 3, 4 }

Producto Cartesiano Representación en forma de Diagrama Sagital Ejemplo: A = { , } B = { , , }

Gráfico cartesiano Dados los conjuntos A = { 1 , 2 } y B = { 1 , 2 , 3 } el gráfico cartesiano de A x B es: La segunda componente de cada elemento del producto cartesiano es la ordenada La primera componente de cada elemento del producto cartesiano es la abscisa

Producto Cartesiano Ejemplo: A = { , } B = { , , }

Indicar el gráfico cartesiano de A x B donde: A = { x / x  R  2  x < 5 } B = { x / x  R  1 < x  3 } Ejercicio

Relaciones Binarias

Relaciones Binarias entre elementos de conjuntos Hay casos en que no todos los pares ordenados de un producto cartesiano de dos conjuntos responden a una condición dada.

Relaciones Binarias entre elementos de conjuntos Se llama relación entre los conjuntos A y B a un subconjunto del producto cartesiano A x B. Este puede estar formado por un solo par ordenado, varios o todos los que forman parte de A x B.

3 es el correspondiente de d Relaciones Dado el siguiente diagrama que relaciona los elementos de A con los de B 3 es el correspondiente de d b está relacionado con 1

Conjuntos de salida y de llegada de un relación A es el conjunto de salida y B es el conjunto de llegada

Dominio de una relación Dom(R) =  x / xA  (x,y)  R  Dom(R) = {b, c, d}

Rango o Imagen de una relación Im(R) =  y / yB  (x,y) R  Im(R) = {1, 3, 4}

Notación Si R es una relación entre A y B , la expresión x R y significa que (x,y)  R , o sea, que x está relacionado con y por la relación R. Ejemplo: b R 1 porque (b,1)  R

R = {(x, y)  A x A / |x – y| es divisible por 3} Ejercicio Sea A = {2, 3, 4, 5, 6} R = {(x, y)  A x A / |x – y| es divisible por 3} Escribir por extensión la relación R.