Variaciones con repetición Tema 15.2 * 4º ESO Opc B @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

VARIACIONES CON REPETICIÓN De m elementos tomados de n en n , son los diferentes grupos que con ellos se pueden formar, de modo que en cada grupo entren n elementos, pudiendo alguno repetirse una o varias veces y considerando dos grupos distintos si se diferencian en alguno de los elementos o en el orden de colocación de los mismos. VARIACIONES CON REPETICIÓN n VR = m m,n Quinielas de fútbol o quinielas hípicas Lotería Nacional Repartir cartas en los buzones azar @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B VARIACIONES CON REPETICIÓN EJEMPLO 1 Con las letras de la palabra MURCIELAGO, ¿cuántas palabras de siete letras se pueden formar? Resolución: Importa el orden de colocación, no se cogen todas las letras y no nos indican que deben ser letras distintas… Luego son variaciones con repetición VR10, 7 = 107 = 10.000.000 EJEMPLO 2 Con las letras de la palabra AMOR, ¿cuántas palabras de siete letras se pueden formar? Importa el orden de colocación, a la fuerza se deben repetir letras, y no tenemos por qué coger las cuatro letras que nos dan… VR4,7 = 47 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B EJEMPLO 3 Con las tres letras y cuatro cifras de una matrícula, ¿cuántas matrículas diferentes resultan? Resolución: Importa el orden de colocación, no se cogen todas las letras ( 26 ) ni todos los dígitos (10 ) y se pueden repetir letras y cifras… Luego son variaciones con repetición VR10, 4 = 104 = 10.000 para las cifras VR26,3 = 263 = 17.576 para las letras Por cada variación de letras habrá 10.000 variaciones de números En total se pueden hacer: 10.000. 263 = 175.760.000 matrículas diferentes. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B EJEMPLO 4 Con los dígitos 2, 4, 6 y 8 ¿cuántos números de dos cifras puedo formar?. ¿En cuántos de ellos aparece el 8?. ¿Y el 2? ¿Cuánto vale la suma de todos los números así formados? Resolución: Importa el orden de colocación, no se cogen todos los dígitos y pueden repetirse … Luego son variaciones con repetición VR4,3 = 43 = 4.4.4 = 64 Los dígitos se reparten por igual en los 64 números así formados. Por tanto 64 / 4 = 16 El 8 aparece en 16 de los 64 números, el 2 también en 16 de los 64 números. La suma de todos los 64 números será: S = 100. columna centenas + 10. columna decenas + columna unidades S = 100.(2.16 + 4.16 + 6.16 + 8.16) + 10.(2.16 + 4.16 + 6.16 + 8.16) + + (2.16 + 4.16 + 6.16 + 8.16) S = 100. 16 . 20 + 10 .16 .20 + 16 . 20 = 32.000 + 3.200 + 320 = 35.520 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B Permutaciones Tema 15.2 * 4º ESO Opc B @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

PERMUTACIONES SIN REPETICIÓN De m elementos tomados de m en m , son los diferentes grupos que con ellos se pueden formar, de modo que, entrando todos ellos en cada grupo, un grupo se diferencie de los demás en el orden de colocación de los elementos. PERMUTACIONES SIN REPETICIÓN P = m! m Lista de todos los alumnos de una clase Colocar los libros en una estantería Maneras de colocarse unas personas alrededor de una mesa @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B Factorial de un número Se llama factorial de un número entero y positivo n , al producto de n factores consecutivos, que comienzan en la unidad y terminan en n. 2! = 1.2 = 2 3! = 1.2.3 = 6 4! = 1.2.3.4 = 24 5! = 1.2.3.4.5 = 120 Los símbolos 1! y 0! no tienen significado por si mismos, pero por convenio (y sobre todo por funcionamiento práctico) su valor es 1. Todo número factorial se puede descomponer en factores. Ello es muy práctico en la simplificación de operaciones. Así: 8! = 8.7.5.4! , 13! = 13.12.11.10.9! , 110! = 110.109.108! 13! / 8! = 13.12.11.10.9.8! /8! = 13.12.11.10.9 110! / 108! = 110.109.108! / 108! = 110 . 109 Etc @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B PERMUTACIONES SIN REPETICIÓN EJEMPLO 1 Con las letras de la palabra AMOR, ¿cuántas palabras de cuatro letras distintas se pueden formar? Resolución: Importa el orden de colocación, se cogen todas las letras y deben ser letras distintas… Luego son permutaciones ordinarias P4 = 4! = 4.3.2.1 = 24 EJEMPLO 2 Con los seis alumnos de la clase, ¿de cuantas formas diferentes les puedo ordenar en una lista? Importa el orden de colocación, se cogen todos y serías absurdo repetir alguno de ellos… P6 = 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720 manera distintas de ordenarlos. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B EJEMPLO 3 Con los seis alumnos de la clase, ¿de cuantas formas diferentes les puedo ordenar en clase, si dispongo de 24 pupitres? Resolución: Importa el orden de colocación, debo elegir 6 de los 24 pupitres, y no puedo sentar a dos alumnos en el mismo pupitre (no hay repetición )… Luego son variaciones ordinarias V24,6 = 24! / (24-6)! = 24. 23. 22. 21. 20. 19 = 96.909.120 Importante: No puedo ordenar los 6 alumnos tomados de 24 en 24. Hay que razonar y ver el problema desde los pupitres. Debo elegir 6 pupitres, uno para cada alumno. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B