ÁLGEBRA

TEMA 15 Polinomios POLINOMIOS CLASIFICACIÓN SUMA DE POLINOMIOS

POLINOMIO Es una expresión algebraica formada por la suma o diferencia de monomios. Cada monomio que forma el polinomio se le llama TÉRMINO, Aquel monomio que no contenga parte literal, sólo números, se le llama TÉRMINO INDEPENDIENTE. EJEMPLOS P(x) = 4.x3 + 7.x2 - 5.x P(x) = - 7.x + 5 P(x, y) = x3 + 7.y2 - 5.x.y

GRADO DE UN POLINOMIO Es el mayor grado de los monomios que lo forman. EJEMPLOS P(x) = 4.x3 + 7.x2 - 5.x  Grado de P(x) = 3 Q(x) = - 7.x + 5  Grado de Q(x) = 1 R(x, y) = x3. y + 7.y2 - 5.x.y  Grado de R(x, y) = 3 respecto x  Grado de R(x, y) = 2 respecto y  Grado de R(x, y) = 4

TIPOS DE POLINOMIOS REDUCIDOS Tiene sumados los términos semejantes NO REDUCIDOS Contiene dos o más términos semejantes. COMPLETOS Sus términos tienen todos los grados, desde el del polinomio a cero. INCOMPLETOS Falta algún término de grado menor que el del polinomio. ORDENADOS Sus términos están ordenados por el grado de la variable. NO ORDENADOS Sus términos están desordenados según el grado de los mismos. Es muy importante que un polinomio esté REDUCIDO y ORDENADO DECRECIENTEMENTE para poder operar correctamente con él.

EJEMPLOS DE TIPOS DE POLINOMIOS REDUCIDOS P(x) = 20.x3 + 31.x2 + 4.x – 6 NO REDUCIDOS P(x) = 2.x3 + 7.x - 31.x2 + 4.x – 6 COMPLETOS P(x) = x3 + 3.x2 + 4.x – 6 INCOMPLETOS P(x) = 3.x3 + 4.x – 6  Falta término en x2 ORDENADOS P(x) = x3 - 3.x2 – 6  Ordenado de forma decreciente. NO ORDENADOS P(x) = 7.x - 3.x3 + 6.x2 – 6 Es muy importante que un polinomio esté REDUCIDO y ORDENADO DECRECIENTEMENTE para poder operar correctamente con él.

Aclaración previa a la forma de operar Los que tengan dificultad en sumar o multiplicar polinomios pueden hacer: P(x) = 5.x4 + 4.x3 - 2.x Q(x) = 3.x3 + 5.x - 3 P(x) + Q(x) = 5.x4 + 7.x3 + 3.x – 3 Pero es recomendable hacerlo así: (5.x4 + 4.x3 - 2.x) + (3.x3 + 5.x - 3) = 5.x4 + 4.x3 - 2.x + 3.x3 + 5.x - 3 = = 5.x4 + 7.x3 + 3.x – 3

SUMA DE POLINOMIOS La suma de dos polinomios es otro polinomio, que se obtiene sumando primero los términos semejantes de ambos, y a continuación los no semejantes. La operación de sumar los términos semejantes, expresando el resultado como un único término se llama REDUCIR TÉRMINOS SEMEJANTES. EJEMPLO Sea P(x) = 4.x3 + 7.x2 - 5.x y Q(x) = 7.x3 + 5.x2 - 3 P(x) + Q(x) = ( 4.x3 + 7.x2 - 5.x ) + (7.x3 + 5.x2 – 3 ) = = 4.x3 + 7.x2 - 5.x + 7.x3 + 5.x2 - 3 = = 11.x3 + 12.x2 - 5.x - 3

DIFERENCIA DE POLINOMIOS Para restar un polinomio a otro se suma al polinomio minuendo el opuesto al sustraendo. Para ello se cambia de signo todos los monomios que forman el sustraendo. EJEMPLO Sea P(x) = 4.x3 + 7.x2 - 5.x y Q(x) = 7.x3 + 5.x2 - 3 P(x) - Q(x) = ( 4.x3 + 7.x2 - 5.x ) - (7.x3 + 5.x2 – 3 ) = = 4.x3 + 7.x2 - 5.x - 7.x3 - 5.x2 + 3 = = - 3.x3 + 2.x2 - 5.x + 3

PRODUCTO DE UN MONOMIO POR UN POLINOMIO El producto de un monomio por un polinomio es el que resulte de multiplicar dicho monomio por todos y cada uno de los monomios del polinomio, reduciendo finalmente términos semejantes. EJEMPLO Sea el monomio 4.x3 y P(x) = 5.x4 + 4.x3 - 2.x (4.x3).P(x) = ( 4.x3 ).(5.x4 + 4.x3 - 2.x ) = = ( 4.x3 ).(5.x4 ) + ( 4.x3 ).(4.x3 ) + ( 4.x3 ).( - 2.x ) = = 20.x7 + 16.x6 - 8.x4

OTRO EJEMPLO Sea el monomio 4.x.y P(x) = 5.y.x2 + 4.y2.x – 2.x.y + 3 (4.x.y).P(x) = ( 4.x.y). (5.y.x2 + 4.y2.x – 2.x.y + 3 ) = = (4.x.y).(5.y.x2 ) + (4.x.y).( 4.y2.x ) + (4.x.y).(– 2.x.y ) + (4.x.y).(3) = = 20.x3.y2 + 16.x2.y3 - 8.x.y + 12.x.y UN EJEMPLO MÁS Sea el monomio 4.a.x P(x) = 5.a.x2 + 4.a2.x (4.a.x).P(x) = ( 4.a.x). (5.a.x2 + 4.a2.x) = = (4.a.x).(5.a.x2 ) + (4.a.x).( 4.a2.x ) = 20.a2.x3 + 16.a2.x2

PRODUCTO DE POLINOMIOS El producto de dos polinomios es el que resulte de multiplicar todos y cada uno de los términos de uno de ellos por todos y cada uno de los términos del otro, reduciendo finalmente términos semejantes. EJEMPLO Sea P(x) = 4.x + 3 y Q(x) = 5.x2 + 4.x – 2 P(x).Q(x) = ( 4.x + 3 ).( 5.x2 + 4.x – 2 ) = = ( 4.x ). (5.x2 + 4.x – 2 ) + (3). ( 5.x2 + 4.x – 2 ) = = (20.x3 + 16.x2 – 8.x) + ( 15.x2 + 12.x – 6 ) = = 20.x3 + 16.x2 – 8.x + 15.x2 + 12.x – 6 = = 20.x3 + 31.x2 + 4.x – 6

Aclaración previa a la forma de operar Los que tengan dificultad en multiplicar polinomios pueden hacer: P(x) = 5.x4 + 4.x3 - 2.x Q(x) = 3.x3 + 5.x 25.x5 + 20.x4 – 10. x2 15.x7 + 12.x6 – 6. x4 15.x7 + 12.x6 + 25.x5 + 14.x4 - 10.x2 Clave: Columnas de términos semejantes

DIVISIÓN DE POLINOMIOS Las reglas operativas son : 1.‑ Reducir dividendo y divisor. 2.‑ Ordenador dividendo y divisor de forma decreciente. 3.‑ Si el dividendo es incompleto, dejar huecos. 4.‑ Aplicar el algoritmo correspondiente para dividir. 5.‑ Terminar cuando el grado del resto sea menor que el grado del divisor. 6.- Comprobar el resultado.

Algoritmo de la división Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor. Lo que da es el primer término del cociente. Se multiplica el primer término del cociente hallado por el todo el divisor. Lo que da hay que restárselo al dividendo. Obtenemos así un nuevo dividendo. Y se repide las anteriores operaciones para conseguir los restantes términos del cociente.

Ejemplo de división de polinomios Sea P(x) = x3 + 4.x2 - 2.x + 5 y Q(x) = x2 + 5 Hallemos P(x) : Q(x) 1.- Están ya ambos reducidos. 2.- Están ya ambos ordenados decrecientemente. 3.- Ambos son polinomios completos, luego no hay que dejar huecos. 4.- Aplicamos el algoritmo para dividir:

x3 + 4.x2 - 2.x + 5 x2 + 5 x Pues x3 : x2 = x - x3 - 5.x x Pues se multiplica x. (x2 +5) Y como vamos a restar lo que nos dé se cambia de signo.

x3 + 4.x2 - 2.x + 5 x2 + 5 - x3 - 5.x x 4.x2 - 7.x + 5 Se repite las operaciones: - x3 - 5.x x + 4 - 4.x2 - 20 - 7.x - 15

x3 + 4.x2 - 2.x + 5 x2 + 5 - x3 - 5.x x + 4 4.x2 - 7.x + 5 - 4.x2 - 20 - 7.x - 15 5.- Como el resto ( -7.x – 15) es de grado menor que el dividor (x2 + 5) se habrá terminado la división. C(x) = x+4 R(x) = - 7.x – 15 6.- Se comprueba que D(x) = d(x).C(x)+R(x)