La Elipse Tema 10 (h,k) k h B B’ D D’ E E’ L L’ P F’ V’ V A’ l’ c l A  F y = b y = -b x = -a x = a V’(-a,0) V(a,0) P(x,y) F’(-c,0) F(c,0) A(0,b) A’(0,-b)  c Tema 10 La Elipse

DEFINICIÓN: La ELIPSE es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos de ese plano es siempre igual a una constante, mayor que la distancia entre los dos puntos. l’ eje normal A P  V’ V eje focal  eje mayor c  F’ F l eje menor A’ Los puntos fijos se llaman focos F y F’ de la Elipse. La recta l es el eje focal (pasa por los focos) Los vértices V y V’ están sobre l o el eje focal El punto medio del segmento que une los focos es el centro El segmento VV’ es el eje mayor La recta l’ que pasa perpendicular a l por c es el eje normal El eje normal corta a la elipse en dos puntos A y A’ El segmento AA’ es el eje menor

DEFINICIÓN: La ELIPSE es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos de ese plano es siempre igual a una constante, mayor que la distancia entre los dos puntos. l’ eje normal E B A D P L  L V’ V eje focal   F’ eje mayor c F l eje menor E’ L’ L’ B’ D’ A’ El segmento BB’ es una cuerda: une dos puntos cualquiera de la elipse. Una cuerda que pasa por un foco (EE´)es una cuerda focal Una cuerda focal que pasa perpendicular al eje focal l (LL´), se llama lado recto. Por lo que tiene 2 lados rectos. Una cuerda que pasa por el centro (DD´)se llama diámetro.

La ELIPSE es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos de ese plano es siempre igual a una constante, mayor que la distancia entre los dos puntos. Ecuación de la Elipse de Centro en el Origen Y Eje Focal que coincide con X l’ P(x,y)  V’ V l     F’(-c,0) F(c,0) Los segmentos FP y F’P que unen los focos con el punto P son los radios vectores de P l’ donde 2a es mayor que 2c Sustitución de las distancias en 1 Se elevan ambos miembros al cuadrado Se resuelve y se pasa la raíz cuadrada a un lado de la ecuación Se divide entre 4 toda la expresión

l’ Se elevan ambos miembros al cuadrado resolviendo Ecuación de la Elipse de Centro en el Origen Y Eje Focal que coincide con X l’ P(x,y)  V’ V l     F’(-c,0) F(c,0) Se elevan ambos miembros al cuadrado resolviendo Reduciendo términos semejantes factorizando

ESTUDIO DE LA ECUACIÓN DE LA ELIPSE A(0,b) . P(x,y)  V’(-a,0) V(a,0) l     F’(-c,0) F(c,0) .A’(0,-b) Cortes con los ejes Cuando y=0 , las intersecciones con el eje X son en los puntos (V y V’) cuyas coordenadas en X son a y –a Por tanto, V(a,0) y V’(-a,0) Longitud del eje mayor = 2a Cuando x=0 , las intersecciones con el eje Y son en los puntos (A,A’) cuyas coordenadas en Y b y -b Por tanto, A(0,b) y A’(0,-b) Longitud del eje menor = 2b

ESTUDIO DE LA ECUACIÓN DE LA ELIPSE x = -a A(0,b) . P(x,y)  V’(-a,0) V(a,0) l     F’(-c,0) F(c,0) .A’(0,-b) x = a Nota: La elipse es simétrica respecto de los ejes y el origen. Si de , se despeja y queda

ESTUDIO DE LA ECUACIÓN DE LA ELIPSE y = b x = -a A(0,b) . P(x,y)  V’(-a,0) V(a,0)     F’(-c,0) F(c,0) .A’(0,-b) x = a y = -b De 1 y 2 se desprende: x = -a y = -b x = a y = b Estas rectas encierran a la elipse

ESTUDIO DE LA ECUACIÓN DE LA ELIPSE y = b x = -a A(0,b) . P(x,y)  V’(-a,0) V(a,0)     F’(-c,0) F(c,0) .A’(0,-b) x = a y = -b Como la abscisa del foco es c, sustituyéndolas en la ecuación, encontramos el valor de la ordenada en el foco: De esta manera , la Longitud del Lado Recto para ambos focos, F y F’ es: La Excentricidad (e) es la razón de c/a, entonces: Como c < a, entonces la excentricidad de una elipse es e < 1 e = 1  Parábola e < 1  Elipse e > 1  Hipérbola

PRIMERA ECUACIÓN ORDINARIA DE LA ELIPSE y Donde: a = longitud del semieje mayor b = longitud del semieje menor TEOREMA: La ecuación de una Elipse de centro en el origen, eje focal el eje x, distancia focal igual a 2c y la cantidad constante igual a 2a, es: Si el eje focal coincide con el eje Y, de manera que las coordenadas de los focos son (0,c) y (o,-c), la ecuación de la Elipse es:

PRIMERA ECUACIÓN ORDINARIA DE LA ELIPSE y Donde: a = longitud del semieje mayor b = longitud del semieje menor Para cada Elipse, a es la longitud del semieje mayor, b la del semieje menor, y a, b, c están ligados por la ecuación: a2 = b2 + c2 También, para cada elipse, la longitud de cada lado recto es y la excentricidad e está dada por la fórmula: Nota: En la ecuación de una elipse en forma canónica, comparamos los denominadores de los términos x2 y y2. El denominador mayor está asociado a la variable correspondiente al eje coordenado con el cual coincide el eje mayor de la Elipse.

ECUACIÓN DE LA ELIPSE DE CENTRO (h,k). Segunda ecuación ordinaria. k h (h,k) 2a: eje mayor 2b: eje menor c: distancia del centro a cada foco a, b y c  a2 = b2 + c2 k h (h,k)

TEOREMA: Si los coeficientes A y C son del mismo signo, la ecuación Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 Representa una elipse de ejes paralelos a los coordenados, o bien un punto, o no representa ningún lugar geométrico real.