MATEMÁTICA BÁSICA CERO Sesión N°7 PRODUCTOS NOTABLES Departamento de Ciencias

¿Cómo podríamos calcular el cuadrado de 65? Sabemos que el cuadrado de 65 es multiplicar dos veces por si mismo. ¿existirá otra forma de calcularlo? ¿Haciendo uso del BINOMIO DE NEWTON, obtendríamos el resultado? BINOMIO DE NEWTON (𝑎+𝑏) 2 = 𝑎 2 +2𝑎.𝑏+ 𝑏 2

Por ejemplo: Para calcular el cuadrado de 65, hacemos que: 𝑎=60 y 𝑏=5 (60+5) 2 = 60 2 +2.60.5+ 5 2 = 4225 ¿Haciendo uso del BINOMIO DE NEWTON, obtendríamos el resultado? 4225

RESPONDA LAS SIGUIENTES PREGUNTAS: 1. ¿Qué es un producto notable? 2. ¿Por qué se le denomina producto notable? 3. ¿Cuál es el desarrollo de: (𝑎+𝑏) 2 ? 4. ¿Cuáles son los productos notables que más conoces?

Borde de goma antideslizante. Una empresa decide construir una piscina (base cuadrada) en sus instalaciones, para ello la piscina debe tener: (2x + 5) m de lado, además se sabe que dicha piscina debe contar con un borde antideslizante de goma alrededor de ella, de ancho constante igual a 1m. Determine en términos de “x” el área de todo el borde de goma antideslizante. Borde de goma antideslizante.

LOGRO DE SESIÓN Al finalizar la sesión el estudiante representa e identifica adecuadamente el desarrollo de productos notables en los ejercicios que se le presentan, además de aplicarlos en la solución de problemas de la vida real. 6

CONTENIDOS PRODUCTO NOTABLE BINOMIO AL CUADRADO (SUMA - DIFERENCIA) BINOMIO AL CUBO PRODUCTO DE SUMA POR DIFERENCIA DE BINOMIOS PRODUCTO DE BINOMIOS POR TÉRMINO COMÚN PROBLEMAS REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 7

(𝑎+𝑏)(𝑎+𝑏) (𝑎+𝑏) 2 𝑎 2 +2𝑎.𝑏+ 𝑏 2 1. PRODUCTO NOTABLE Es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas que cumplen ciertas reglas fijas, cuyo resultado se puede escribir mediante simple inspección, sin verificar la multiplicación. (𝑎+𝑏)(𝑎+𝑏) (𝑎+𝑏) 2 𝑎 2 +2𝑎.𝑏+ 𝑏 2 8

PRODUCTOS NOTABLES CUADRADO DE UN BINOMIO (a ± b)2 = (a)2 ± 2 (a)·(b) + (b)2 CUBO DE UN BINOMIO (a + b) · (a − b) = (a)2 − (b)2 PRODUCTO DE SUMA POR DIFERENCIA (a ± b)3 = (a)3 ± 3(a)2·(b) + 3(a)·(b)2 ± (b)3 PRODUCTO DE BINOMIOS CON TÉRMINO COMÚN (x + a) (x + b) = x2 + ( a + b) x + (a.b)

(a + b)2 = (a)2 + 2 (a)·(b) + (b)2 2. CUADRADO DE UN BINOMIO (SUMA) BINOMIO SUMA El área del cuadrado de lado (a + b) es: b a a (a + b)2 El área del cuadrado como una suma de todas las regiones mostradas es: Productos notables b b a a2 + ab + ab + b2 POR LO TANTO: (a + b)2 = (a)2 + 2 (a)·(b) + (b)2 10

2. CUADRADO DE UN BINOMIO (SUMA) EJEMPLOS: (2x + 3)2 = (2x)2 +2(2x)(3)+(3) 2 = 4x2 + 12x + 9 2 (m3 + 3n2)2 = (m3)2 + 2(m3)(3n2)+(3n2) 2 = m6 + 6m3n2 + 9n4

2. CUADRADO DE UN BINOMIO (DIFERENCIA) El área del cuadrado de lado a es: a b a - b (a)2 ab – b2 El área del cuadrado como una suma de todas las regiones mostradas es: Productos notables a a - b (a – b)2 ab – b2 b2 + (ab – b2) + (ab – b2) + (a – b)2 POR LO TANTO: (a – b)2 = (a)2 – 2 (a)·(b) + (b)2 12

2. CUADRADO DE UN BINOMIO (DIFERENCIA) EJEMPLOS: (5x – 1)2 = (5x)2 +2(5x)(1)+(1) 2 = 25x2 + 10x + 1 (a2 – 2b4)2 = (a2)2 + 2(a2)(2b4)+(2b4) 2 = a4 – 4a2b4 + 4b8

(a + b)3= + + + a3 3a2b 3ab2 b3 3. CUBO DE UN BINOMIO (SUMA) ab2 b a3 14

3. CUBO DE UN BINOMIO (SUMA) EJEMPLOS: (3x + 2)3 = (3x)3 + 3(3x)2(2) + 3(3x)(2)2 + (2)3 = 27x3 + 54x2 + 36x + 8 (m2 + 3)3 = (m2)3 + 3(m2)2(3) + 3(m2)(3)2 + (3)3 = m6 + 9m4 + 27m2 + 27

3. CUBO DE UN BINOMIO (DIFERENCIA) (x + y)3= x3 – 3x2y + 3x2y – x3

3. CUBO DE UN BINOMIO (DIFERENCIA) EJEMPLOS: (5x – 1)3 = (5x)3 – 3(5x)2(1) + 3(5x)(1)2 – (1)3 = 125x3 – 75x2 + 15x – 1 (m2 – 3n)3 = (m2)3 – 3(m2)2(3n) + 3(m2)(3n)2 – (3n)3 = m6 – 9m4n + 27m2n2 – 27n3

(a + b) (a – b) = a2 – b2 4. PRODUCTO DE SUMA POR DIFERENCIA a - b b b 18

4. PRODUCTO DE SUMA POR DIFERENCIA EJEMPLOS: (2x + 3)(2x – 3) = (2x)2 – (3) 2 = 4x2 – 9 (3mn2 – 2p)(3mn2 + 2p) = (3mn2) 2 – (2p)2 = 9m 2n4 – 4p2

x2 ax bx ab (x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab 5. PRODUCTO DE BINOMIOS POR TÉRMINO COMÚN x a x2 ax x x bx ab b b x a (x + a) (x + b) = x2 + ax + bx + ab (x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab 20

(x + 5)(x – 7) = (x)2 + (5 – 7)(x) + (5)(-7) = x2 – 2x – 35 5. PRODUCTO DE BINOMIOS POR TÉRMINO COMÚN EJEMPLOS: (x + 5)(x – 7) = (x)2 + (5 – 7)(x) + (5)(-7) = x2 – 2x – 35 (3x + 9)(3x – 7) = (3x)2 + (9 – 7)(3x) + (9)(-7) = 9x2 + 6x – 63

Borde de goma antideslizante. Una empresa decide construir una piscina (base cuadrada) en sus instalaciones, para ello la piscina debe tener: (2x + 5) m de lado, además se sabe que dicha piscina debe contar con un borde antideslizante de goma alrededor de ella, de ancho constante igual a 1m. Determine en términos de “x” el área de todo el borde de goma antideslizante. Borde de goma antideslizante.

(2x)2 + 2(2x)(7) + (7) 2 – [ (2x)2 + 2(2x)(5) + (5)2 ] SOLUCIÓN: PISCINA DE FORMA CUADRADA 1 Para determinar el área del borde antideslizante realizamos una diferencia de superficies, es decir: (2x + 5) (2x + 7) (2x + 7)2 – (2x + 5)2 1 (2x)2 + 2(2x)(7) + (7) 2 – [ (2x)2 + 2(2x)(5) + (5)2 ] Por lo tanto, el área del borde será: (8x + 24) m2

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS IGNACIO BELLO. ALGEBRA. 2°EDICIÓN. ED. CENGAGE. PAG. 268 – 277. SALVADOR TIMOTEO. ALGEBRA. 2° EDICIÓN. ED. SAN MARCOS. PAG. 73 – 96 24