Funciones

Aprendizajes esperados Comprender la definición de función. Evaluar funciones. Entender la gráfica de una función en el plano cartesiano. Representar e interpretar información cuantitativa a través de gráficos. Comprender la definición de Dominio y Recorrido

Contenidos Funciones Gráfica Definición Evaluación

1. Funciones Una función es una relación entre dos variables, x y f(x), tal que, para cada valor de x existe un único valor de f(x). Por lo general, una función tiene una fórmula asociada que nos permite, dado un valor de x, obtener el correspondiente valor de f(x). Ejemplo: Sea la función f(x) = 2x + 5 Sea la función f(x) = En una función el valor de f(x) depende del valor de x. Por ello se dice que x es la variable independiente y f(x) es la variable dependiente.

2. Evaluación de funciones Evaluar una función consiste en reemplazar la variable x por un valor en particular, en la fórmula de la función. Ejemplo: i) Sea f(x) = 3x + 5, ¿cuál es el valor de f(4)? Como queremos obtener f(4), reemplazamos x por 4 en la fórmula. f(x) = 3 ∙ x + 5 f(4) = 3 ∙ 4 + 5 f(4) = 12 + 5 f(4) = 17 Es decir: si x = 4 → f(4) = 17

2. Evaluación de Funciones ii) Consideremos f(x) = 2x + 1, ¿cuál es el valor de f(1)? Como queremos obtener f(1), reemplazamos x por 1 en la fórmula. f(x) = 2 ∙ x + 1 f(1) = 2 ∙ 1 + 1 f(1) = 2 + 1 f(1) = 3 Es decir: si x = 1 → f(1) = 3

2. Evaluación de Funciones Diagrama de conjuntos Evaluemos f(x) = 2x + 1 en otros valores: x f(x) : – 5 – 3 – 1 1 3 5 7 : – 3 – 2 – 1 1 2 3 Con x = – 3, f (– 3) = 2 ∙ (– 3) + 1 = – 6 + 1= – 5 Con x = – 2 , f (– 2) = 2 ∙ (– 2) + 1 = – 4 + 1 = – 3 Con x = – 1, f (– 1) = 2 ∙ (– 1) + 1 = – 2 + 1 = – 1 Con x = 0, f (0) = 2 ∙ (0) + 1 = 0 + 1 = 1 Con x = 1, f (1) = 2 ∙ (1) + 1 = 2 + 1 = 3 Con x = 2, f (2) = 2 ∙ (2) + 1 = 4 + 1 = 5 Con x = 3, f (3) = 2 ∙ (3) + 1 = 6 + 1 = 7

3. Gráfica de funciones ¿Se puede representar una función en un gráfico? Claro que sí. Si juntamos las parejas de valores de x y f(x) en pares ordenados de la forma (x, f(x)), podemos situarlo en un plano, tal que: (x, f(x)) Abscisa: la primera coordenada indica su posición a la izquierda (si es negativo) o a la derecha (si es positivo) Ordenada: la segunda coordenada indica su posición hacia abajo (si es negativo) o hacia arriba (si es positivo) Muchas veces al escribir la posición se presenta (x, y). Eso ocurre cuando se indica que f(x) = y.

3. Gráfica de funciones Escribamos las parejas (x, f(x)) y grafiquemos: Consideremos f(x) = 2x + 1 -6 -8 -7 -4 -5 -3 -2 -1 2 1 3 5 4 7 6 8 … y = f(x) x (2,5) f(2) = 5 (2, 5) f(1) = 3 (1,3) (1,3) f(-2) = -3 (-2,-3) f(-3) = -5 (-3,-5) (-2,-3) (-3,-5)

3. Gráfica de funciones La unión de todos los puntos de la función en el plano, corresponde al gráfico de la función. -6 -8 -7 -4 -5 -3 -2 -1 2 1 3 5 4 7 6 8 … y x (-3, -5) (-2, -3) (1,, 3) (2, 5)

4. Dominio y recorrido Al indicar que una función es una relación entre dos variables, x y f(x), tal que, para cada valor de x existe un único valor de f(x), podemos definir dos conjuntos: dominio y recorrido. El dominio es el conjunto de los valores de x para los que existe un valor de f(x) asociado. El recorrido es el conjunto de todos los valores de f(x) que entrega la función. Ejemplo: f(x) = 1 + 5x x – 1 _____ En este ejemplo, x NO puede tomar el valor de 1, por lo tanto el dominio de la función son todos los números reales, menos el 1, o bien: Dom f(x) = IR – {1}

5. Reconocimiento de una función x y x y x y y1 x y2 Es función Es función NO es función Recuerda que en una función, para cada valor de x hay un único valor de y = f(x) asociado.

Apliquemos nuestros conocimientos 1. Si f(x) = 2x2 + 2x + 2 , entonces f(– 2) es igual a A) – 18 B) – 10 C) 6 D) 10 E) 14   ¿Cuál es la alternativa correcta?

C Apliquemos nuestros conocimientos Habilidad: Aplicación Resolución: f(x) = 2x2 + 2x + 2 (Evaluando x = – 2) f(– 2) = 2 ∙ (– 2 )2 + 2 ∙ (– 2) + 2 f(– 2) = 2 ∙ 4 + 2 ∙ (– 2) + 2 (Desarrollando) f(– 2) = 8 – 4 + 2 f(– 2) = 4 + 2 f(– 2) = 6 C Habilidad: Aplicación

Apliquemos nuestros conocimientos 2. Sea h una función en los números reales, definida por h(x) = – ax + x + 3, entonces h(a) es igual a A) a2 + a + 3 B) 3a + 3 C) – a2 – a + 3 D) – a2 + a + 3 E) – a + 3 ¿Cuál es la alternativa correcta?

D Apliquemos nuestros conocimientos Habilidad: Aplicación Resolución: h(x) = – ax + x + 3 (Evaluando x = a) h(a) = – a ∙ a + a + 3 (Desarrollando) h(a) = – a2 + a + 3 D Habilidad: Aplicación

Apliquemos nuestros conocimientos 3. Sea m una función real, tal que m(x) = 5x + 5. Si m(b) = 25, entonces el valor de b es A) 130 B) 100 C) 20 D) 6 E) 4 ¿Cuál es la alternativa correcta?

E Apliquemos nuestros conocimientos Habilidad: Análisis Resolución: m(x) = 5x + 5 (Evaluando x = b) m(b) = 5b + 5 (Reemplazando m(b) = 25) 25 = 5b + 5 (Despejando b) 25 – 5 = 5b 20 = 5b (Dividiendo por 5) 4 = b E Habilidad: Análisis

Apliquemos nuestros conocimientos 4. Si g(x) = 4t + x y g(0) = 12, entonces ¿cuál es el valor de g(5)?   3 8 12 17 Faltan datos para determinarlo. ¿Cuál es la alternativa correcta?

D Apliquemos nuestros conocimientos Habilidad: Análisis Resolución: g(x) = 4t + x (Evaluando x = 0) g(0) = 4t + 0 (Reemplazando g(0) = 12) 12 = 4t (Despejando t) 3 = t D Luego al reemplazar t = 3, Luego la función queda f(x) = 4 ∙ t + x queda como f (x) = 4 ∙ 3 + x f(x) = 12 + x, ahora evaluando en x = 5 g(5) = 4 ∙ 3 + 5 (Desarrollando) g(5) = 12 + 5 (Reemplazando g(0) = 12) g(5) = 17 Habilidad: Análisis

Apliquemos nuestros conocimientos 5. Respecto del gráfico de la función f(x) de la figura, ¿cuál(es) de las siguientes aseveraciones es(son) verdaderas(s)? f(– 4) > f(0) f(0) ∙ f(1) = 0 f(4) + f(5) + f(6) >0 Solo I Solo II Solo I y III Solo II y III Ninguna de ellas. -2 2 4 -1 -3 -5 -7 y x 3 ¿Cuál es la alternativa correcta?

E Apliquemos nuestros conocimientos Habilidad: Análisis Resolución: I) Falsa, ya que al mirar el gráfico podemos darnos cuenta que f(– 4) es 0, o bien, cuando x = – 4, y = 0. Así mismo, f(0) = 2, según aparece el gráfico. Por lo tanto, f(– 4) < f(0). II) Falsa, ya que f(0) = 2 y f( 1) es un número positivo, por lo tanto al multiplicar dos números positivos el producto será positivo, por lo tanto: f(0) ∙ f(1) = 0, es falso, pues es positivo. III) Falsa, ya que f(4) = – 2, f(5) = – 2 y f(6) = – 2. Por lo tanto: f(4) + f(5) + f(6) = – 2 – 2 – 2 = – 6 < 0. Habilidad: Análisis E