Limite de Funciones de Variable Continua                  profesor: Christian René Antón Antón

Objetivos a Tratar Conjunto de Numero Reales Definición de Función Intervalos Definición de Limite en una Función Propiedades de Limites Calculo de Limites                             

Conjunto de los números reales Para adentrarnos en el tema tenemos que saber que son los números reales Conjunto de los números reales Está formado por el conjunto de los números enteros, racionales e irracionales, y lo denotaremos como R ; gráficamente el conjunto de los números reales lo podemos representar por una recta en la que fijamos un origen y una unidad, que hace que a cada punto de la recta le corresponda un número real y a cada número real le corresponda un punto de la recta. A esta recta la denominamos la recta real                              -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Función : Es una relación entre los elementos de dos conjuntos, de forma que a determinados elementos del primer conjunto se asocian elementos del segundo conjunto de manera unívoca, es decir que a un elemento del primer conjunto no le podemos asociar más de un elemento del segundo conjunto. A un elemento cualquiera del primer conjunto lo representamos con la letra x, que denominamos variable independiente y al único elemento que le corresponde en el segundo conjunto lo representamos por la letra y, a la que denominamos variable dependiente. A la relación la representamos por la letra   f   y escribimos y = f (x).                             

Primer Caso Segundo Caso                              En el primer caso a cada valor de x le corresponde un único valor de y. En el segundo caso, hay valores de x que no están únicamente determinados

Definamos sobre la recta real : Intervalos Definamos sobre la recta real :                              El conjunto [a,b] se llama intervalo cerrado y (a,b) se llama intervalo abierto. En cualquiera de los casos b-a se llama longitud del intervalo.

Ahora podemos pasar al análisis del limite de variables continuas. Sea f: R R Diremos que la función f tiende hacia el limite L Perteneciente a R, cuando x tiende hacia el valor a perteneciente a R y lo anotaremos como: lim f (x) = L ssi: x a                              ع > 0, δ > 0 tal que si x – a < δ  f (x) – L < ع lim f (x) = L x a

Esto nos quiere decir que: Para todo ع tan pequeño como se quiera mayor que cero, existe un δ mayor que cero tal que si la distancia entre x y a es menor que δ (x pertenece ] a – δ, δ + a[), se cumple que la distancia entre las imágenes y el limite es menor que ع. Ejemplo: Demostrar que lim 3x + 5 = 1 x 2 Solución: Sea ع > 0, por demostrar δ > 0 tal que si x – a < δ → 3x + 5 – 11 < ع                             

3x + 5 – 11 < ع  f (x) – L < ع                              Luego si ع> 0 dado, δ = ع/3 > 0 tal que x – a < δ= ع/3  3 x – 2 < ع 3 (x - 2) < ع 3x – 6 < ع 3x + 5 – 11 < ع  f (x) – L < ع

Propiedades de Limites Si existe lim f (x) = L este es único x →a Si existe lim f (x) = L y lim g (x)= M ( es decir ambos limites existen) Entonces: lim f (x) + g (x) = lim f (x) + lim g (x) x → a x → a x → a lim f (x) – g (x) = lim f (x) – lim g (x) x → a x → a x →a                             

lim f (x)  g (x) = lim f (x)  lim g (x) x → a x → a x→ a lim f (x) lim f (x) x → a g (x) x → a si g (x) = 0 y lim g (x) lim g (x) = 0 x → a x → a lim c f (x) = c lim f (x) x → a x → a                             

1.- Calcular lim x2 – 4 = lim (x - 2) (x + 2) CALCULO DE LIMITES Suele ocurrir que en el calculo de limites se produzcan algunas “ indeterminaciones” evitables. Para evitar indeterminaciones se recurre frecuentemente a las factorizaciones, las racionalizaciones y los cambios de variables. Ejemplos: 1.- Calcular lim x2 – 4 = lim (x - 2) (x + 2) x → a x – 2 x → 2 (x - 2)  lim x + 2 = 4 x → 2                             

3.- lim 2 + x2 – 3 + ex = lim 2 + lim x2 – 3 + lim ex x→1 x→1 x→1 x→1  lim 2 + lim x2 - 3 + lim ex 2 – 2 + e1 x→1 x→1 x + 2 x→1 3                             

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