Apuntes de Matemáticas 3º ESO TEMA 8 * 3º ESO GEOMETRÍA PLANA @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO TEMA 8.10 * 3º ESO TRAPECIOS Y EXÁGONO @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO TRAPECIOS b B l l ’ h Un TRAPECIO es el cuadrilátero ( 4 lados ) que tiene dos lados ( bases) paralelos. La base mayor se designa por “B” y la base menor por “b”. PERÍMETRO: P = B + b + l + l ’ b B Si unimos dos trapecios como en la figura, se forma un romboide, de área: A = (B+b).h Luego el área del trapecio será la mitad del romboide. h B b @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Trapecio isósceles Es aquel en que los dos lados no paralelos son IGUALES. Se podría decir que es la parte de un triángulo isósceles que queda entre su base y una recta paralela a dicha base. PERÍMETRO: P = B + b + 2.l AREA: A = [ ( B + b ) / 2 ].h En el trapecio isósceles se puede determinar la altura conociendo las bases y el lado oblicuo. También se puede determinar el lado oblicuo conociendo las bases y la altura b l l h B Por el Teorema de Pitágoras: l = √ { h2 + [ ( B – b ) / 2 )2 ] } l = hipotenusa. h = un cateto. (B-b)/2 = el otro cateto. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Trapecio rectángulo Es aquel en que uno de los lados no paralelos es perpendicular a las bases. PERÍMETRO: P = B + b + l + h AREA: A = [ ( B + b ) / 2 ].h En el triángulo rectángulo que se resalta, por el Teorema de Pitágoras: l = √ { h2 + [ ( B – b )2 ] } l = hipotenusa. h = un cateto. (B - b) = el otro cateto. b l h h B @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO b=5 EJEMPLO_9 En un trapecio las bases miden 7 y 5 cm y el área vale 48 cm2. Hallar la altura, los lados oblicuos y dibujarlo. l ’ l h h Sabemos que: A = [(B+b) / 2].h Luego 48 = [(7+5)/2].h  48 =(12/2).h  48 = 6.h  h = 8 cm Pero, sin más datos, el trapecio es indeterminado (infinitas soluciones). B = 7 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO EJEMPLO_10 En un trapecio isósceles las bases miden 11 y 5 cm y el área vale 48 cm2. Hallar la altura, los lados oblicuos y dibujarlo. b=5 l l h h B = 7 Sabemos que: A = [(B+b) / 2].h Luego 48 = [(11+5)/2].h  48 =(16/2).h  48 = 8.h  h = 6 cm Además a ambos lados se forma un triángulo rectángulo: Cateto mayor = altura , cateto menor = (B – b) / 2 , hipotenusa = lado l Luego l = √ (h2 + [(B – b)/2]2) = √ (62 + [(11 – 5)/2]2) = √ (36 + 9) = √45 cm @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO EJEMPLO_11 En un trapecio rectángulo el perímetro mide 30 cm, las bases miden 11 y 5 cm y la altura es 2 cm menor que el lado oblicuo.. Hallar el área y dibujarlo. b=5 l l h h Sabemos que: A = [(B+b) / 2].h Luego A = [(11+5)/2].h  A = 8.h Además P = B + b + h + l  30 = 16 + h + l Como h = l – 2  30 = 16 + (l – 2 ) + l  30 = 16 + 2.l – 2 Luego 2.l = 16  l = 8 cm y por tanto h = 6 cm El área será A = 8.h = 8.6 = 48 cm2 B = 11 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO TRAPEZOIDE Es aquel cuadrilátero que no tiene ningún par de lados paralelos. PERÍMETRO: P = a+b+c+d Todo trapezoide se puede descomponer en cuatro triángulos, cuyos vértices serán los extremos de cada lado y un punto interior cualquiera del trapezoide. c P b d a @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Ejercicio Hallar el área del cuadrilátero de lados: a = 7 cm, b = 10 cm, c = 12 cm y d = 7 cm Sabiendo que el ángulo que forman los lados a y d es de 110º. c Resolución: Dividimos el trapezoide en 4 triángulos. Trazamos las 4 alturas, una por cada triángulo. Medimos las alturas. Calculamos el área de cada triángulo y sumamos las cuatro áreas halladas. b P d a @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO PENTÁGONO PENTÁGONO Es un polígono regular de CINCO lados. Ángulo central: 360/5 = 72º Ángulos interiores: (180 – 72) / 2 = 54º Se compone de 5 triángulos isósceles idénticos. La altura de uno de ellos es la APOTEMA. PERÍMETRO: P = 5.l ÁREA: A = 5.(l. apo / 2) = P.apo / 2 54º 54º 72º apo l @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Ejercicio_1 En un pentágono regular el área vale 45 cm2 y la apotema mide 3 cm menos que el lado. Hallar el perímetro y dibujarlo. PERÍMETRO: P = 5.l Necesitamos el lado. ÁREA: A = 5.l. apo / 2 45 = 5.l.(l – 3) / 2 90 = 5.l2 – 15.l 5.l2 – 15.l – 90 = 0 l2 – 3.l – 18 = 0 Resolviendo la ecuación de 2º grado: 3 +/- √(9+72) 3 + 9 l = ------------------- = --------- = 6 cm 2 2 P = 5.l = 5.6 = 30 cm 54º 54º 72º apo l Al dibujar un pentágono de lado 6 cm y apotema 3 cm, vemos que NO cumple con los ángulos. No hay solución @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO EXÁGONO EXÁGONO Es un polígono regular de SEIS lados. Se compone de 6 triángulos equiláteros. Todos sus ángulos miden 60º PERÍMETRO: P = 6.l ÁREA: A = P. apo / 2 La apotema se puede deducir por el Teorema de Pitágoras: apo l l = √ [ ( l / 2)2 + apo2 ] De donde: apo = √ [ l2 -- (l/2)2 ] = l. √3 / 2 l apo l / 2 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Ejercicio_1 En un exágono el perímetro vale 54 cm. Hallar el área. PERÍMETRO: P = 6.l 54 = 6.l  l = 54 / 6 = 9 cm ÁREA: A = P. apo / 2 Apo = l. V3 /2 = 4,5 V3 A = 54. 4,5. V3 / 2 = 121,5. V3 cm2 apo l @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO