Un comerciante acude al mercado a comprar naranjas Un comerciante acude al mercado a comprar naranjas. Dispone de 3000€ y en su furgoneta caben 2400 Kg. En el mercado hay 2 tipos de naranjas: A y B. Las de tipo A cuestan 1€ el Kg y las de tipo B cuestan 3€ el Kg. Si vende todas las que compra a 2€ las del tipo A y a 5€ el Kg las de tipo B, ¿cuántas naranjas de cada tipo debe comprar para el beneficio sea máximo?

RESTRICCIONES Compra Kg Precio Kg Beneficio Kg Tipo A x 1 Tipo B y 3 2 <= 2.400 <= 3.000 x + y <= 2.400 x +3y <= 3.000 y>= 0 x>= 0

OBJETIVO OBJETIVO: Hallar los valores X e Y para los cuales la función BENEFICIO alcanza el valor MÁXIMO. B(x,y) = x + 2y x + 2y = 0 x + 2y=4 x y 2 -1 x + 2y=0

Representación Gráfica de las Restricciones x y x+y<=2.400 2.400 2.400 x+3y<=3.000 2.400 x y X >=0 1.000 Y>0 1.000 3.000 2.400 3.000

Representación Gráfica de las Restricciones x+y<=2.400 Región de soluciones Factibles x+3y<=3.000 2.400 X >=0 1.000 P Y>0 1.000 3.000 2.400 3.000

Cálculo de los vértices El Vértice P es el punto en que se cortan las rectas: La SOLUCIÓN del SISTEMA: x+ y=2.400 Y=300, X=2.100 x+3y=3.000 2.400 (0,1.000) 1.000 P=(2.100, 300) 2.400 3.000 (0,0) (2.400,0)

Cálculo del Óptimo La Función Objetivo alcanza su máximo y su mínimo en la frontera de la Región de Soluciones Factibles. Más concretamente:

Cálculo del Óptimo Si la región de soluciones factibles es cerrada : Si la solución es única: el máx. y el mín. lo alcanza en los vértices Si hay más de una solución, se alcanza en alguno de los lados: cada punto del lado será solución

Cálculo del Óptimo Si la región de soluciones factibles es abierta: No alcanzará ningún máximo ó ningún mínimo.

Cálculo del Óptimo Evaluamos la función Objetivo en los vértices: B(x,y) = x + 2y B(0,0)=0 B(0,1000)=2.000 B(2400,0)=2.4000 B(2100,300)=2.700

Cálculo del Óptimo Por tanto, el mínimo, 0, se obtiene en (0,0) El máximo, 2.7000 se obtiene en (2100,300) Es decir: El máximo beneficio se obtiene comprando 2.100 Kg de naranjas tipo A y 300 Kg de Naranjas tipo B.

Gráficamente: (0,1.000) (2.100, 300) (2.400,0)

Otro ejemplo: cambiando la función Objetivo ¿Cambiará la solución si el beneficio por Kg es: Compra Kg Precio Kg Beneficio Kg Tipo A x 1 1,1 Tipo B y 3 En este caso la función beneficio será: B(x,y) = 1,1 x + y

Cálculo del Óptimo Evaluamos la función Objetivo en los vértices: B(x,y) = 1,1 x + y B(0,0)=0 B(0,1000)=1.000 B(2400,0)=2.640 B(2100,300)=2.610

Cálculo del Óptimo Por tanto, el mínimo, 0, se obtiene en (0,0) El máximo, 2.640 se obtiene en (2400,0) Es decir: El máximo beneficio se obtiene comprando 2.400 Kg de naranjas tipo A y ninguna del tipo B.

Gráficamente: (0,1.000) (2.100, 300) (2.400,0)

Otro ejemplo: cambiando la función Objetivo ¿Cambiará la solución si el beneficio por Kg es: Compra Kg Precio Kg Beneficio Kg Tipo A x 1 Tipo B y 3 En este caso la función beneficio será: B(x,y) = x + y

Cálculo del Óptimo Evaluamos la función Objetivo en los vértices: B(x,y) = x + y B(0,0)=0 B(0,1000)=1.000 B(2400,0)=2.400 B(2100,300)=2.400

Cálculo del Óptimo Por tanto, el mínimo, 0, se obtiene en (0,0) El máximo, 2.400 se obtiene en cada uno de los puntos del segmento que va de (2400,0) a (2100,300) Es decir: El máximo beneficio 2.400 € se obtiene comprando cualquier combinación de Kg de naranjas tipo A y tipo B del segmento

Gráficamente: (0,1.000) (2.100, 300) (2.400,0)