Funciones Definición: Una función f : A → B es una relación que a cada elemento del conjunto A le hace corresponder un único elemento del conjunto B. El conjunto A se llama Dominio de la Función y el conjunto B es el Rango o Codominio. f B A m 1 p 2 n

Para indicar que a un elemento x de A se le hace corresponder un elemento y de B, se escribe y=f(x) y se lee: y es igual a f de x. o bien: y es la imagen de x. x es una preimagen de y.

Veamos si las siguientes figuras representan funciones

Dominio de una función numérica Es el conjunto de valores de la variable x, para los cuales la función existe. El dominio viene caracterizado por el tipo de función. Ejemplos: Sea ; el dominio es Sea ; el dominio es

Conjunto Imagen Es el conjunto de elementos del Codominio, que son imagen de algún elemento del Dominio. El Conjunto Imagen es un subconjunto del Codominio. Ejemplos: 1)Sea 2)Sea

Formas de expresar una función: Mediante Gráficas Mediante Tablas Analíticamente

La siguiente es la gráfica de un bebé que al nacer pesó 3,300 kg. ¿Qué ocurre en los primeros días de vida? Interpreta el punto P. b) ¿Qué días el niño pesó 150 g menos que al nacer? c) En algún momento de la segunda quincena la madre cambió el pecho por la mamadera. ¿Le gustó el cambio al niño?

d) Indica el aumento de peso durante la primera, segunda y tercera quincena. e) Indica el máximo y mínimo peso que dio el niño durante el mes y en qué días. f) Indica los máximos y mínimos locales, y absolutos.

FUNCIONES EXPLÍCITAS FUNCIONES IMPLÍCITAS Una función es explícita cuando está definida de la forma y = f(x), es decir, está despejada la variable dependiente y en términos de la variable independiente x. Ejemplos: y = f(x) = 3x2 +2x+1 ; y=sen(x) FUNCIONES IMPLÍCITAS Una función está dada en forma implícita cuando está escrita de la forma f(x,y) = 0, es decir, no está despejada la variable dependiente y. Ejemplos: f(x,y) = y2 - 2xy + 7x2 - 1 = 0 ; 3y - 4x = 7

Representación gráfica de funciones Un punto cualquiera del plano está representado por un par ordenado de números (x,y). La coordenada x se llama abcisa y la coordenada y se denomina ordenada. Ejemplos:

Teorema de Pitágoras Primero recordemos que un triángulo rectángulo es aquel que tiene... ...un ángulo recto, es decir, de 90 grados. El Teorema de Pitágoras dice que: en todo triángulo rectángulo se cumple que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Distancia entre dos puntos Para hallar la distancia entre dos puntos del plano, por ejemplo entre P1 y P2, podemos aplicar el Teorema de Pitágoras, ya que se ve claramente que los puntos P1, P2 y Q forman un triángulo rectángulo. Como: y entonces:

Función Constante donde k es un valor real

La función lineal m es la pendiente y b es la ordenada al origen.

Dados dos puntos (x1,y1) y (x2,y2) que pertenecen a la recta, la pendiente m se puede calcular así: siempre que La pendiente de una recta es independiente del orden en que consideramos dos puntos en ella.

Para hallar la ecuación de una recta que pasa por dos puntos P1=(x1,y1) y P2=(x2,y2) hacemos: Por ejemplo, dados P1=(3;4) y P2=(-2;6), la recta que pasa por ambos puntos será:

Para hallar la ecuación de una recta, dados un punto (x1,y1) y la pendiente m, hacemos: Ejemplo: Hallar la recta de pendiente 3 que pasa por el punto (1;-4).

Rectas Paralelas y Perpendiculares Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente. Dos rectas son perpendiculares si sus pendientes son inversas y de signo opuesto.

Funciones definidas por partes Las llamamos así a las funciones que están definidas por intervalos. Ejemplo: Estas funciones pueden definirse en dos o más intervalos.

Sobreyectiva No inyectiva No sobreyectiva Inyectiva Biyectiva No sobreyectiva No inyectiva

Función Inversa Una función biyectiva admite función inversa. Si la función es f a su función inversa la llamaremos f-1 Las gráficas de una función y su inversa son simétricas respecto a la recta identidad, es decir, a la recta y = x. La función azul es y=ln(x) La función verde es y= ex La función violeta es la recta identidad y = x

La función azul es y=3x+4 La función verde es y= 1/3 x – 4/3 La función violeta es la recta identidad y = x

La siguiente es la gráfica de la función y = x2 ¿Esta función tiene inversa?

Función Valor Absoluto Equivale a Si

Función Valor Absoluto

Función Par Una función es PAR si cumple que: f(x) = f(-x), para todos los x del dominio. Es decir si su gráfica es simétrica respecto del eje y Con lo que se produce una simetría. Las funciones pares definidas por polinomios de grado par, no tienen función inversa.

Función Impar Una función es IMPAR si cumple que: f(x)= -f(-x), para todos los x del dominio. Con lo que se produce una simetría con respecto al origen de coordenadas. De la misma manera para toda función impar definida en el punto "0" se tiene que f(0)=0.

Función Polinómica Si n=0 se tiene entonces función constante Si n=1 se tiene entonces función lineal Si n=2 se tiene entonces función cuadrática

Función Cuadrática Usaremos para este caso una notación muy común Ejemplos

Función Cuadrática

Funciones Racionales Siendo y funciones polinómicas

Función Periódica Función que repite el mismo valor a intervalos regulares de la variable. Una función f(x) es periódica si existe un número p tal que pueda hacer f(x+p) = f(x) para todas las x. Donde P es el período. Ejemplo:

Funciones Trigonométricas Una función trigonométrica, también llamada circular, es aquella que se define por la aplicación de una razón trigonométrica a los distintos valores de la variable independiente, que ha de estar expresada en radianes. Existen seis clases de funciones trigonométricas: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante

Función Seno Se denomina función seno, y se denota por f (x) = sen(x), a la aplicación de la razón trigonométrica seno a una variable independiente x expresada en radianes. La función seno es periódica, acotada y continua, y su dominio de definición es el conjunto de todos los números reales. Período: Df: Im: [-1,1]

Función Coseno Se denomina función coseno, y se denota por f (x) = cos(x), a la aplicación de la razón trigonométrica coseno a una variable independiente x expresada en radianes. La función coseno es periódica, acotada y continua, y su dominio de definición es el conjunto de todos los números reales. Período: Df: Im: [-1,1]

Función Tangente No es continua. No se define en todos los reales, ya que hay valores para los cuales no existe. Su período es y su imagen son todos los reales.

Función Exponencial Se llaman funciones exponenciales a las funciones de la forma

Función Logarítmica Y = loga x Se llaman funciones logarítmicas a las funciones de la forma donde "a" es constante (un número) y se denomina la base del logaritmo.

Composición de Funciones Una función compuesta es una función formada por la aplicación sucesiva de otras dos funciones. Para ello, se aplica sobre el argumento la función más próxima al mismo, y al resultado del cálculo anterior se le aplica finalmente la función restante. Formalmente, dadas dos funciones f: X → Y y g: Y → Z, donde la imagen de f está contenida en el dominio de g, se define la función composición (g ο f ): X → Z como (g ο f)(x) = g (f(x)), para todos los elementos x. A g ο f se le llama composición de f y g. Nota: se nombra no siguiendo el orden de escritura, sino el orden en que se aplican las funciones a su argumento.

Composición de Funciones También se la llama Función Compuesta. El dominio de la función compuesta es igual al dominio de la primera función que aplicamos. Ejemplo: f o g Dadas: Observación: D(f o g)=Dg

Ejemplo: g o f (Vamos a usar las mismas funciones del ejemplo anterior Dadas: No existe (gof) es decir no existe Observación:

Funciones para Aplicaciones Económicas Costo Total CT =CF+CV(x) CF Costo Fijo CV Costo Variable Costo Medio CM=CT/(x) Beneficio o Utilidad B=IT-CT IT Ingreso Total Si igualamos el Beneficio a cero, el valor hallado de x será el punto de equilibrio, es decir el ingreso es igual al costo. IT-CT=0

Demanda y Oferta La función de demanda D(p) para cualquier producto, es la función que nos da el número de unidades de producto en función del precio p (por unidad) que los consumidores están dispuestos a comprar. La relación puede ser lineal o cuadrática. D(p) = mp + n con m<0 o bien D(p) = ap2 + bp + c, con a<0. La función de oferta S(p) , para cualquier producto, es la función que nos da el número de unidades que la empresa está dispuesta a producir en función del precio (por unidad) del producto. La relación puede ser lineal o cuadrática. S(p) = kp + v con k>0 o bien S(p) = dp2 + ep + f, con d>0. El equilibrio del mercado se produce cuando el número de unidades que se fabrican coincide con el número de unidades de producto que se demandan.