Capitulo III.I

LA FIRMA: Estática comparada Microeconomía II

Panorámica Producción Optimización La firma y El mercado Estática Comparada Optimización La firma y El mercado Producción La firma

Moviéndonos del óptimo... m Deducimos las reacciones de la empresa para pequeños cambios. m Son las funciones de respuesta m Examinaremos tres tipos de ellas, tratando a la firma como una... m... C CC Caja negra La firma

Cómo funciona?... La firma `niveles de producción; demandas precios del mercado

LA FIRMA COMO UNA “CAJA NEGRA” l Use el hecho de que la firma es optimizadora. l El comportamiento puede ser predecido con las condiciones de óptimo necesarias y suficientes. l Las CPO pueden resolverse para producir funciones de respuesta. l Sus propiedades derivan de la función solución.

La firma Producción Oferta Demanda ordinaria Optimización Estática Comparada La firma y el mercado Oferta Demanda condicional del factor Demanda del factor ordinaria Los problemas de la CAJA NEGRA

La solución de la primera etapa del problema... Elegimos un z que minimiza  w i z i m i=1 Q  G(z)Q  G(z)...sujeto a la restricción de producción... z  0 … y las condiciones de no- negatividad

Costo mínimo como una función de variables exógenas... C(w, Q) := min  w i z i vector de precios de factores Nivel de producción dado y, presumiblemente...

…Demanda óptima como función de variables exógenas una para cada uno de los m factores z 1 * = H 1 (w,Q) z 2 * = H 2 (w,Q) z m * = H m (w,Q)  

(nuestra primera función de respuesta) Demanda del factor i, condicionada por el nivel de producción Q Necesitamos examinar la primer etapa del proceso de maximización z i * = H i (w,Q) Función de Demanda Condicionada en función de los precios de los factores …y el nivel de producción

El resultado depende de la forma de Z z 1 z 2 z 1 z 2 z 1 z 2 z 1 z 2 Tomando el caso convencional... z2z2 z1z1

Mapa de óptimos dentro del espacio (z 1,w 1 ) z2z2 z1z1 w1w1 z1z1 Empezamos con un valor arbitrario de w 1... Lo hacemos nuevamente para un menor valor de w 1... …y de nuevo para obtener... La curva de demanda condicionada H1(w,Q)H1(w,Q)

Puntos para resaltar h En el caso “convencional... h... el conjunto de restricción es convexo, con límite ( o frontera) suave. h Encontramos que la solución es una función continua... h...es univaluada.

El resultado depende de la forma de Z z 1 z 2 z 1 z 2 z 1 z 2 z 1 z 2 Qué pasa en el caso de “no convexidad...? Z(Q) _ 2 z2z2 z1z1

Otra vez el mapa de óptimos dentro del espacio (z 1,w 1 ) Z(Q) _ 2 w1w1 z2z2 z1z1 z1z1... Ahora probamos un valor mucho menor de w 1 Pero… qué pasa en el medio? Z Z No-convexo : salta en z* Correspondencia de demanda

w1w1 z1z1 Ningún precio produce esta solución multiples factores a este precio

Puntos para recordar h En este caso... h... el conjunto de restricción es no-convexo h Encontramos que la solución es una función discontinua... h... La función es multivaluada en la discontinuidad. Permítamos dejar ésta dificultad de lado...

m Tomemos como dado que las funciones de demanda de factores univaluadas existen. m ¿Cómo están relacionadas con la función de costo? Cuáles son sus propiedades? Cómo están relacionadas con las propiedades de la función de costo? Asumimos la existencia de la función de demanda condicionada Se acuerdan...?

Se acuerdan de...?  C(w, Q)  w i = z i * _______

…si, es el Lema de Shephard Pendiente de la función de costo óptima Demanda óptima del factor i C i (w, Q) = z i *

Y entonces... C i (w, Q) = H i (w, Q) Función de demanda condicionada Diferenciando... i  ___  w j

Lo que nos da... C ij (w, Q) = H j i (w, Q) Derivada segunda Y ahora, para un resultado sencillo: C ji (w, Q) = C ij (w, Q) Por qué...??

Las derivadas segundas son conmutativas... =  2 _____  w j  w i  2 _____  w i  w j

El significado económico... El efecto del precio del factor j en la demanda condicionada del factor i El efecto del precio del factor j en la demanda condicionada del factor i H i j (w, Q) = H j i (w, Q) El efecto del precio del factor i en la demanda condicionada del factor j

Ahora para un resultado aun más simple : C ii (w, Q) = Pusimos j=i. “Caso especial” Porque la función de costo es cóncava en precios… : H i i (w, Q) Esta debe ser negativa …entonces ésta debe ser negativa también... Y entonces:

Considere la demanda del factor 1 Curva de demanda condicionada zizi wiwi Hi(w,Q)Hi(w,Q) La pendiente de la curva de demanda condicionada es negativa H i i (w, Q) < 0

La función de demanda condicionada...  La no-convexidad de Z produce discontinuidad en H  Los efectos precio cruzados son simétricos  La demanda de x en respuesta a su propio precio P x posee pendiente negativa.

LA FIRMA Producción Oferta Demanda de factor ordinaria Optimización Estática Comparada La firma y el mercado Demanda condicional del factor Demanda de factor ordinaria Problemas de la CAJA NEGRA

La segunda etapa del problema max PQ - C(w,Q) sujeto a Q  0 Producción óptima

(las segundas funciones de respuesta) Q* = S (w, P) Oferta del producto Necesitamos examinar la segunda etapa del proceso de optimización

P Q A un P dado, existe un Q óptimo Q CQCQ C/Q P P Q P Q Q P Q P P P Ahora permitamos que P descienda... Note que pasa debajo del Costo Medio...

CURVA DE OFERTA P Q _ Q=S(w,P)Q=S(w,P) no hay precios que den ésta solución Producción indeterminada a este precio

Función de Producción con Rendimientos crecientes a Escala z 2 Q z 1 0 RCAE

La función de oferta... l La pendiente de la curva de oferta es positiva l La no-concavidad de G produce discontinuidad en S l RCAE significa que G es no-concava y también que S es discontinua

Problemas de la CAJA NEGRA La firma Producción Oferta Demanda de factor ordinaria Optimización Estática Comparada La Firma y el Mercaco demanda condicional del factor Oferta

demanda del factor i, condicionada por la producción Q z i * = H i (w,Q) Ahora juntamos las dos etapas del proceso de optimización Q* = S (w, P) Oferta de productos z i * = H i (w,Q) Q* = S (w, P)

Sustituyendo: H i (w, S(w, P)) D i (w, P) (nuestra tercera función de respuesta) demanda del factor i (no condicionada ) =:

Cambio en el costo Consideremos la demanda del factor 1 Curva de demanda condicional Caida del precio z1*z1* z1z1 w1w1 H1(w,Q)H1(w,Q) nivel inicial del precio... Y permitamos que el precio del factor 1 caiga efecto sustitución Caída del precio del factor: efecto sustitución

efecto total Caída del precio del factor: efecto total Caída del precio z1*z1* z1z1 w1w1 Curva de demanda condicional Original Curva de demanda ordinaria z 1 ** Nueva curva de demanda conditional

La función de demanda ordinaria La función de demanda ordinaria… pLa no-convexidad de Z puede producir una D discontinua p Los efectos precios cruzados son simétricos p La demanda con respecto a su propio precio tiene pendiente negativa Las mismas propiedades básicas que la función H

Repaso... Producción Optimización LA FIRMA Estática Comparativa La Firma y el Mercado Estática Comparada La Firma y el Mercado Producción

Un Caso Especial La Firma Producción El Corto Plazo Optimización Estática Comparada La Firma y el Mercado

No es un momento en el tiempo pero…... está definido por restricciones adicionales dentro del modelo No es un momento en el tiempo pero…... está definido por restricciones adicionales dentro del modelo El Corto Plazo...

El problema del corto plazo se basa en el enfoque tradicional Elegimos Q y z que maximisen  :=P Q -  w i z i m i=1 Q  G (z)...sujeto a la restricción de producción... Q  0 z  0 …y algunas condiciones obvias: z m =  z m Con condiciones de borde

La solución ahora involucra la función de costos a corto plazo ~ {z m = z m } C(w, Q,  z m ) := min  w i z i

Compare con la solución sin restricciones de borde.... C(w, Q) := min  w i z i  C(w, Q,  z m ) ~ Por definición...

Compare con la solución sin la restricción de borde.... ~ Por consiguiente... C(w, Q) C(w, Q,  z m ) _______ ___________  Q Q Miremos el gráfico...

El costo medio en el corto y largo plazo P Q C/Q Q _ ~

Costo Marginal en el corto y largo plazo P Q CQCQ ~ Q _ CQCQ

Relaciones entre corto y largo plazo Q _ P Q C/Q ~ CQCQ ~ CQCQ La curva de oferta es más empinada en el corto plazo Corto plazo Largo plazo

También lo es la curva de demanda condicional H 1 (w,Q,  z m ) ~ z 1 w 1 H1(w,Q)H1(w,Q) Corto plazo Largo plazo

Usted debe recordar esto... LA FIRMA Relaciones funcionales

Relaciones funcionales básicas H i (w, S(w,P)) = D i (w,P) Demanda del factor i, conditionada por la producción Oferta de productos Demanda del factor i (no conditionada) Di(w,P)Di(w,P) Hi(w,Q)Hi(w,Q) S (w,P) Y ellas enganchan todas juntas asi...