Tema 6: Distribuciones estadísticas

Indice 1.- Variable aleatoria discreta 2.- Función de probabilidad de variable discreta. Propiedades 3.- Parámetros en distribuciones discretas: Media y varianza 4.- Distribución binomial: Función de probabilidad, media y varianza. 5.- Variable aleatoria continua. Función de densidad. 6.-Distribución normal. 7. Tipificación de la variable. Cálculo de probabilidades con las tablas

VARIABLE ALEATORIA Se llama variable aleatoria a toda función que asocia a cada elemento del espacio muestral E un número real. Se utilizan letras mayúsculas X, Y, ... para designar variables aleatorias, y las respectivas minúsculas (x, y, ...) para designar valores concretos de las mismas. TIPOS: Variable aleatoria discreta: aquella que sólo puede tomar valores enteros. Ejemplos: El número de hijos de una familia, la puntuación obtenida al lanzar un dado. Variable aleatoria continua:es aquella que puede tomar todos los valores posibles dentro de un cierto intervalo de la recta real. Ejemplos: La altura de los alumnos de una clase, las horas de duración de una pila.

Función de probabilidad de variable discreta y propiedades Se llama función de probabilidad de una variable aleatoria discreta X a la aplicación que asocia a cada valor de xi de la variable su probabilidad pi. 0 ≤ pi ≤ 1 p1 + p2 + p3 + · · · + pn = Σ pi = 1 La función de distribución para una variable discreta siempre verifica las siguientes propiedades: A) F(−∞)= 0 F(+∞)=1 B) P[(a,b)]= F(b) - F(a C) Es una función no decreciente: X1, X2 X1<X2 ⇒ F(X1)≤(X2)

REPRESENTACIÓN La representación de una distribución discreta de probabilidad es un diagrama de barra

Parámetros en distribuciones discretas

Parámetros en distribuciones discretas

Distribución binomial: Función de probabilidad media y varianza Sea X una variable aleatoria discreta cuyos valores suponemos ordenados de menor a mayor. Llamaremos función de distribución de la variable X, y escribiremos F(x) a la función: F(x) = p(X ≤ x) La función de distribución asocia a cada valor de la variable aleatoria la probabilidad acumulada hasta ese valor. Representación La representación de una función de distribución de probabilidad es una gráfica escalonada.

Distribución binomial: Función de probabilidad media y varianza FUNCIÓN DE LA MEDIA: FUNCIÓN DE VARIANZA:

Variable aleatoria continua.: Función de densidad. Una variable aleatoria continua es aquella que puede tomar todos los valores posibles dentro de un cierto intervalo de la recta real. Ejemplos: La altura de los alumnos de una clase, las horas de duración de una pila. Función de densidad Según la definición, una v.a. continua puede tomar un número infinito no numerable de puntos, la probabilidad que hemos de asignarle a cada valor de la variable estará en [0,1] con la condición de que la suma de todas las probabilidades es 1, como hay un número infinito no numerable de valores con masa, ésta es despreciable por lo que se dice que no tienen masa P[X = x] = 0. Definimos una función que verifica: A esta función asociada a una v.a. continua se le llama función de densidad

Distribución normal Una variable aleatoria continua, X, sigue una distribución normal de media μ y desviación típica σ, y se designa por N(μ, σ), si se cumplen las siguientes condiciones: 1. La variable puede tomar cualquier valor: (-∞, +∞) 2.La función de densidad, es la expresión en términos de ecuación matemática de la curva de Gauss:

Curva de la distribución normal -El campo de existencia es cualquier valor real, es decir, (-∞, +∞). -Es simétrica respecto a la media µ. -Tiene un máximo en la media µ. -Crece hasta la media µ y decrece a partir de ella. -En los puntos µ − σ y µ + σ presenta puntos de inflexión. -El eje de abscisas es una asíntota de la curva. -El área del recinto determinado por la función y el eje de abscisas es igual a la unidad. -Al ser simétrica respecto al eje que pasa por x = µ, deja un área igual a 0.5 a la izquierda y otra igual a 0.5 a la derecha. -La probabilidad equivale al área encerrada bajo la curva. p(μ - σ < X ≤ μ + σ) = 0.6826 = 68.26 % p(μ - 2σ < X ≤ μ + 2σ) = 0.954 = 95.4 % p(μ - 3σ < X ≤ μ + 3σ) = 0.997 = 99.7 %

Tipificación de la variable: Cálculo de probabilidades con las tablas Para poder utilizar la tabla de la distribución normal tenemos que transformar la variable X que sigue una distribución N(μ, σ) en otra variable Z que siga una distribución N(0, 1). Para tipificar X (o sea, transformarla en Z), el primer paso es "centrar" la variable; es decir, hacer que la media µ sea 0. El siguiente paso es conseguir que la desviación típica σ sea 1. Por tanto para tipificar una variable lo que hemos de hacer es restar la media y dividir por la desviación típica. En resumen, habría que aplicar esta fórmula:

FIN