ÁLGEBRA
TEMA 3 IDENTIDADES NOTABLES 3.1 IDENTIDAD Y ECUACIÓN 3.2 CUADRADOS 3.3 SUMA POR DIFERENCIA 3.4 CUBOS 3.5 AMPLIACIÓN
4.4 IDENTIDADES NOTABLES IDENTIDAD IDENTIDADES NOTABLES EJEMPLOS Una identidad es una igualdad que siempre se cumple, sea cual sea el valor de la variable o variables. EJEMPLOS x = x , a = a , x – 4 = x + 5 - 1 , etc IDENTIDADES NOTABLES Son productos de uso muy frecuente que es muy conveniente memorizar. En todo caso siempre se pueden deducir cuando no se recuerden bien.
IDENTIDADES NOTABLES ( x + y )2 = x2 + 2.x.y + y2 ( x + y ) . ( x – y ) = x2 – y2 ( x + y )3 = x3+ 3.x2.y + 3.x.y2 + y3 ( x - y )3 = x3 - 3.x2.y + 3.x.y2 - y3
IDENTIDADES NOTABLES EJERCICIO Deducirlas realizando los productos indicados. Ejemplo: ( x + y )2 = (x + y).(x + y) = = x2 + x.y + y.x + y2 = x2 + 2.x.y + y2
Ejercicios resueltos ( x + 5 )2 = x2 + 2.x.5 + 52 = x2 + 10.x + 25 ( 2.x + y )2 = (2.x)2 + 2.2.x.y + y2 = 4.x2 + 4.x.y + y2 ( x – 3.y )2 = x2 - 2.x.3.y + (3.y)2 = x2 – 6.x.y + 9.y2 ( x - 3.y ) .(x + 3.y) = x2 - (3.y)2 = x2 - 9.y2
Ejercicios resueltos ( 3.x + 4 )2 = (3.x)2 + 2.3.x.4 + 42 = 9.x2 + 24.x + 16 ( 5.x - y )2 = (5.x)2 - 2.5.x.y + y2 = x2 – 10.x.y + y2 ( 3 + 7.x ) . ( 3 – 7.x ) = 32 – (7.x)2 = 9 – 49.x2 ( 3.x + 2.y )2 = (3.x)2 + 2.3.x.2.y + (2.y)2 = 9.x2 + 12.x.y + 4y2 ( (1/2).x – y )2 = ((1/2).x)2 - 2.(1/2).x.y + y2 = (1/4).x2 – x.y + y2 ( - x - 3.y ) .(x - 3.y) = ( - 3.y + x ) .(- 3.y - x) = (- 3.y)2 - x2 = 9.y2 - x2
Ejercicios inversos resueltos x2 + 12.x + 36 = ( x + 6 )2 x2 + 4.x.y + 4.y2 = (x + 2.y)2 4.x2 – 25 = (2.x + 5 ).(2.x – 5) 9.x2 + 6.x.y + y2 = (3.x + y )2 16 – 8.x + x2 = ( 4 – x)2 121.x2 - 9.y2 = ( 11.x + 3.y).(11.x – 3.y)
Ejercicios inversos resueltos 4.x2 - 36 = ( 2.x + 6 ). ( 2.x – 6) x2 + 10.x.y + 25.y2 = (x + 5.y)2 3.x2 – 4 = (√3.x + 2 ).(√3.x – 2) 2.x2 + 12.x.y + 18.y2 = (√2.x + √18.y )2 5 – 2. √5.x + x2 = (√5 – x)2 7.x2 - 5.y2 = (√7.x + √5.y). (√7.x + √5.y)
Ejercicios resueltos ( x + 2 )3 = x3+ 3.x2.2 + 3.x.22 + 23 = ( 3.x + y )3 = (3x)3+ 3.(3.x)2.y + 3.3.x.y2 + y3 = = 27.x3 + 27.x2.y + 9.x.y2 + y3 ( 3 – 4.x)3 = 33 - 3.32.4.x + 3.3.(4.x)2 – (4.x)3 = = 27 - 108.x + 134.x2 – 64.x3