Apuntes 1º Bachillerato CT POSICIONES RELATIVAS DÍA 26 * 1º BAD CT @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT Analítica posicional Distancia de un punto a una recta Sea el punto C(k, h), el centro de la circunferencia. Sea la recta s: Ax + B.y + C = 0 Distancia: |A.k + B.h+C| D(C, s) = -------------------- √(A2+B2) POSICIÓN DE RECTA CON CIRCUNFERENCIA MÉTODO DE LA DISTANCIA Se halla la distancia, d, de un punto C, el centro de la circunferencia, a la recta s dada. Si d > r  Recta exterior Si d = r  Recta tangente. Si d < r  Recta secante. @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT Ejercicios 4.- Hallar la posición relativa de la recta s: 3x + 4y + 5 = 0 respecto a la circunferencia C: (x + 4)2 + (y – 3)2 – 72 = 0 Centro: C(-4, 3) ,, k= -4, h=3 ,, Radio: r=5 |A.k + B.h+C| |3.(-4)+ 4.3+5| 5 d(C, s) = -------------------- = -------------------- = --- = 1 < r  Recta secante √(A2+B2) √(32+(-4)2) 5 5.- Hallar la posición relativa de la recta s: 12x – 5y – 65 = 0 respecto a la circunferencia C: x2 + y2 – 25 = 0 Centro: C(0, 0) ,, k= 0, h=0 ,, Radio: r=5 |12.0 + (-5).0 – 65| 65 d(C, s) = ------------------------- = ------ = 5 = r  Recta tangente √(122+(-5)2) 13 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT Ejercicios 6.- Hallar la posición relativa de la recta s: 8x + 6y + 3a = 0 respecto a la circunferencia C: (x – a)2 + y2 – a2 = 0 Centro: C(a, 0) ,, k= a, h=0 ,, Radio: r=a |8.a + 6.0 + 3a| 11a d(C, s) = -------------------- = ------ = 1,1.a > a  Recta exterior a C. √(82+62) 10 7.- Hallar la posición relativa de la recta s: √2ax – √2ay + 18 = 0 respecto a la circunferencia C: (x – a)2 + (y – a)2 – a2 = 0 Centro: C(a, a) ,, k= a, h=a ,, Radio: r=a |√2a.a +(-√2a).a + 18| |√2.a2– √2.a2 +18| 18 9 d(C, s) = ------------------------------ = ------------------------- = ------- = ------ √(√2.a)2+(-√2.a)2 √4.a2 2.a a Casos: 9 < a2 ,, 9 = a2 ,, 9 > a2 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT Analítica posicional POSICIÓN DE RECTA CON CIRCUNFERENCIA MÉTODO DEL SISTEMA Se resuelve el sistema formado por la ecuación de la recta y la ecuación de la circunferencia. Presenta la ventaja sobre el otro método de darnos los puntos de corte, si los hay. r: y = m.x + n C: (x – k)2 + (y – h)2 = r2 No existen soluciones reales  Recta EXTERIOR.. Hay una única solución real  Recta TANGENTE   Solución = Punto de tangencia. Hay dos soluciones reales y distintas  Recta SECANTE   Soluciones = Puntos de corte. El valor o medida del segmento secante será la distancia entre los dos puntos de corte. Dicho segmento puede ser el diámetro de la circunferencia. @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT Ejercicios 8.- Hallar la posición relativa de la recta s: x + 4y – 5 = 0 respecto a la circunferencia C: x2 + y2 – 3x – 10 = 0 Resolvemos el sistema: x + 4y – 5 = 0  x = 5 – 4y x2 + y2 – 3x – 10 = 0 (5 – 4y)2 + y2 – 3(5 – 4y) – 10 = 0 25 – 40y + 16y2 + y2 – 15 + 12y – 10 = 0 17y2 – 28y = 0  y.(17y – 28) = 0 Solución: y1 = 0 ,, y2 = 28/17 Al haber dos valores de y, implica dos puntos de corte  Recta secante Los dos puntos de corte de recta y circunferencia son: x1=5 – 4.0 = 5  Pc(5, 0) x2=5 – 4.(28/17) = (85 – 112)/17 = - 27/17  Pc(-27/17, 28/17) La longitud de la cuerda será: d=√(5+27/17)2 +(28/17)2 = √(43,40 +2,71) = 6,79 u. @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT POTENCIA DE UN PUNTO POTENCIA DE UN PUNTO Por un punto P(a, b) trazamos dos o más rectas que corten a una circunferencia de centro C(k, h) y radio r. Los puntos de corte serán A y B, A’ y B’, etc. Los triángulos PBA’ y PAB’ son semejantes ya que poseen dos ángulos iguales. Podemos poner: PA’ PA ----- = ----  PA’ . PB’ = PA . PB PB PB’ Este producto es constante para cualquier recta que pase por el punto P(a,b). Esa constante se denomina potencia de P respecto a la circunferencia C, y se escribe PotC (P) P(a, b) A B A’ B’ @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT Cálculo de la potencia CALCULO DE LA POTENCIA DE UN PUNTO Como hemos dicho que es indiferente la recta secante trazada por P, tomamos aquella que coincide con el diámetro de la circunferencia. Distancia del punto al centro de la circunferencia: d(P, C) = √ [ (a ‑ k)2 + (b ‑ h)2 ] = d PotC (P) = (d + r).(d – r) = d2 – r2 PotC (P) = (a ‑ k)2 + (b ‑ h)2 – r2 Vemos pues que la potencia de un punto respecto a una circunferencia se calcula tomando la ecuación de la circunferencia igualada a cero y sustituyendo la x y la y por las coordenadas del punto P. d=d(P, C) P(a, b) A r r C B @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT Consecuencias Consecuencias: Si la potencia es positiva, el punto es exterior a la circunferencia. PotC (P) > 0  P(a, b) es exterior a C Ejemplo: Sea P(5,2) y C: x2 + y2 – 25 = 0  PotC (P) = 25 + 4 – 25 = 4 > 0 Si la potencia es 0 , el punto pertenece a la circunferencia. PotC (P) = 0  P(a, b) pertenece a C Sea P(- 6,8) y C: x2 + y2 – 100 = 0  PotC (P) = 36 + 64 – 100 = 0 Si la potencia es negativa, el punto es interior a la circunferencia. PotC (P) < 0  P(a, b) es interior a C Sea P(0, -2) y C: x2 + y2 – 16 = 0  PotC (P) = 0 + 4 – 16 = – 12 < 0 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT Ejercicios Ejemplo 1 Sea P(0,2) y C: x2 + y2 – 2x + 5 = 0 PotC (P) = 0 + 4 – 0 + 5 = 9 > 0 El punto es exterior a la circunferencia Ejemplo 2 Sea P(1, -1) y C: x2 + y2 – 2x + 3y – 5 = 0 PotC (P) = 1 + 1 – 2 – 3 – 5 = – 8 < 0 El punto es interior a la circunferencia Ejemplo 3 Sea P(a, 0) y C: x2 + y2 – a2 = 0 PotC (P) = a2 – a2 = 0 = 0 El punto pertenece a la circunferencia, sea cual sea el valor de a. Ejemplo 4 Sea P(a, a) y C: x2 + y2 – 50 = 0 PotC (P) = a2 + a2 – 50 = 2. a2 – 50 = 2.(a2 – 25) El punto es exterior a la circunferencia cuando …. El punto pertenece a la circunferencia si … El punto es interior a la circunferencia cuando …. @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT