Inecuaciones en los Reales Pedro Godoy G.

Desigualdad: Dos valores se dicen que son desiguales si estos son distintos a > b “ a es mayor que b” a < b “ a es menor que b” NEGATIVOS POSITIVOS x > 0 x < 0

Propiedades: Si x   entonces x < 0, x = 0, ó x > 0 Si x   entonces Si x > y entonces x – y > 0 Si x > y entonces x + a > y + a Si x > y, entonces ax > ay con a positivo Si x > y, entonces ax < ay con a negativo

a b Intervalos: es cualquier subconjunto de números reales La diferencia entre un intervalo u otro es si considera o no los extremos Intervalo abierto ] a ; b[ Intervalo cerrado [ a ; b ] Intervalo semi abierto [a ; b[ , ] a ; b]

Otros intervalos [a ; + [ ] a ; + [ ]-  ; a] ] -  ; a[

Es una desigualdad entre dos expresiones Inecuación Es una desigualdad entre dos expresiones algebraicas que tiene al menos una variable y donde el fin, es buscar el conjunto de números reales que satisfaga la condición Se conocerá como inecuación de primer grado a aquella expresión que se puede reducir a la forma ax + b > 0

Resolver la siguientes inecuaciones 3x + 4(x-9)  x – 6 6 + x - 2( x + 6) < 2 - 3 ( x + 6) 4x + 3( 3 – x) + ( x +8)  6 - 3(x – 4)

3X +4X – 36  X – 6 7X – X  -6 + 36 6X  30 X  5 S=[5; + [

4x + 3( 3 – x) + ( x +8)  6 - 3(x – 4)

x + 6 < x + 7 X + 5 < x + 3

Sistemas de inecuaciones Al igual que los sistemas de ecuaciones, que buscan puntos de Intersección entre rectas y/o curvas, los sistemas de inecuaciones busca intersectar los conjuntos soluciones de cada una de las inecuaciones, encontrando asi un único conjunto solución que satisfaga cada una de las desigualdades.

3 38/7 Es positivo por lo que x – 3 > 0 y x > 3 3 38/7 La gráfica muestra que la intersección es S=] 3 ; 38/7 [

Inténtelo con

Los sistemas implícitamente llevan una “ y ” Que harías si el sistema se anota como

Inecuaciones que contienen productos o cuocientes Consideremos las expresiones algebraicas En que lugar de los números reales son positivas o negativas Si bien estas expresiones algebraicamente son distintas, sin embargo, en lo que respecta a su positividad o negatividad es lo mismo, ya que la regla de los signos para ambas formas es la misma.

Pensemos primero en la variable x para después estudiar que sucede Con nuestras expresiones algebraicas x Vemos que x será positivo para x >0, y será negativo para x < 0 x + 2 -2 Vemos que x + 2 será positivo para x > -2, y será negativo para x < -2

x - 3 3 Vemos que x - 3 será positivo para x > 3, y será negativo para x < 3 A aquellos términos que hacen cero al factor lineal y hacen la diferencia entre lo positivo y lo negativo se llamaran valores críticos. ¿Como estudiar el signo de (x + 2)(x – 3)? Debemos mezclar los signosde cada uno, pero para esto lo haremos a través de una tabla de signos que permita llevar un orden que no lleve a confusiones.

- + - + - + X+2 X-3 signo X+2 X-3 signo X+2 X-3 signo X+2 X-3 signo Intervalos reales, representa la recta de los reales Expresión X+2 X-3 signo Expresión X+2 - + X-3 signo Expresión X+2 - + X-3 signo Expresión X+2 - + X-3 signo Expresión

Debe convenir que, ya sea en la multiplicación como en La tabla anterior nos indica que ambas expresiones son positivas en Y serán negativas en Debe convenir que, ya sea en la multiplicación como en la división la regla de los signos tienen el mismo comportamiento

Resolvamos la inecuación Buscar valores críticos de cada factor lineal Construir una tabla de signos Estudiar los signos de cada factor según el intervalo 4) Obtener la solución que satisfaga la desigualdad -  -4 -2/3 1 2 + X - 2 X + 4 3x + 2 X – 1 Signo X - 2 - + X + 4 3x + 2 X – 1 Signo