UNIDAD 25 Números complejos Entrar Docente: Ma. Belén Platero

INDICE Origen de los números complejo Definición Partes de un número complejo Opuesto de un número complejo Conjugado de un número complejo Potencias Regla para elevar (i) a cualquier potencia Operaciones Representación gráfica Módulo y argumento Forma de representar los números complejos Algunas aplicaciones de los números complejos

Origen de los números complejos La primera referencia conocida a raíces cuadradas de números negativos proviene del trabajo de los matemáticos griegos, como Herón de Alejandría en el siglo I antes de Cristo, como resultado de una imposible sección de una pirámide. Los complejos se hicieron más patentes en el Siglo XVI, cuando la búsqueda de fórmulas que dieran las raíces exactas de los polinomios de grados 2 y 3 fueron encontradas por matemáticos italianos como Tartaglia, Cardano. Aunque sólo estaban interesados en las raíces reales de este tipo de ecuaciones, se encontraban con la necesidad de lidiar con raíces de números negativos. El término imaginario para estas cantidades fue acuñado por Descartes en el Siglo XVII y está en desuso. La existencia de números complejos no fue completamente aceptada hasta la más abajo mencionada interpretación geométrica que fue descrita por Wessel en 1799, redescubierta algunos años después y popularizada por Gauss. La implementación más formal, con pares de números reales fue dada en el Siglo XIX.

Definición Llamamos números complejos a los números de la forma Z= a + bi, donde a y b son números reales e i es la unidad imaginaria

Número real Conjunto formado por los números racionales y los irracionales. Se representa con la letra ℝ

Unidad imaginaria ¡recuerda! i2 = -1 Definimos el número i, al que llamamos unidad imaginaria, de un número complejo al número −1 → 𝑖 2 = ( −1 ) 2 = -1 ¡recuerda! i2 = -1

Partes de un número complejo Si z es un número complejo: z = a + bi Ejemplos: a es la parte real de z b es la parte imaginaria de z Nº Parte real Parte imaginaria lasificación -2+3i -2 3 Complejo 0+2i 2 Imaginario puro 5+0i 5 Real

Opuesto de un número complejo El complejo opuesto de z = a + bi es –z y tiene opuestas las componentes real e imaginaria de z. -z = - a – bi. Ejemplos: z -z 5+i -5-i 3-6i -3+6i -9+2i 9-2i -1-3i 1+3i

Conjugado de un número complejo Dado un complejo z = a + bi , su conjugado (z) tiene la misma parte real y opuesta la parte imaginaria. z= a – bi Ejemplos: z 5+i 5-i 3-6i 3+6i -9+2i -9-2i -1-3i -1+3i

Potencias 𝑖 0 =1 (Como cualquier número elevado a la cero) 𝑖 2 =−1 (Por definición de la unidad imaginaria) 𝑖 3 =𝑖∙𝑖∙𝑖= 𝑖 2 ∙𝑖= −1 ∙𝑖=−𝑖 𝑖 4 =𝑖∙𝑖∙𝑖∙𝑖= 𝑖 2 ∙ 𝑖 2 = −1 ∙ −1 =1

Regla para elevar (i) a cualquier potencia Hay que dividir la potencia de i por 4 y luego elevamos la i al resto de la división: Ejemplo: 𝑖 322 = 𝑖 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖ó𝑛 = 𝑖 2 =−1 322 4 02 80 2

Operaciones En el conjunto de los números complejos (C) están bien definidas las cuatro operaciones básicas: Suma Resta Multiplicación División

Suma La suma de números complejos se realiza sumando las partes reales e imaginarias por separado. Ejemplo: Para sumar z1 = 1 + 4i y z2 = 2 - 2i se suman las partes reales 1 y 2, y a continuación las partes imaginarias 4 y -2, dando como resultado z1+ z2 = 3 + 2i. En general decimos que para la suma se cumple siempre que: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i Resta Definimos a la resta z1- z2 como la suma entre z1 y el opuesto de z2. Ejemplo: Para restar z1 = 1 + 4i y z2 = 2 - 2i se suman z1 y - z2. Hacemos (1+4i)+(-2+2i), luego sumamos las partes reales 1 y -2, y a continuación las partes imaginarias 4 y 2, dando como resultado z1- z2 = -1 + 6i. En general decimos que para la resta se cumple siempre que: (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i

Multiplicación La multiplicación de números complejos se basa en que i2 = -1, y que es válida la propiedad distributiva respecto de la suma y de la resta. Ejemplo: Sean z1 = 3+2i y z2 = 2-4i. Para hacer z1* z2 , aplicamos la propiedad distributiva: (3+2i).(2-4i) = 6 – 12i + 4i – 8i2 = 6 – 12i + 4i – 8.(-1) = 6 – 12i + 4i + 8 = 14 – 8i

División La división de números complejos se basa en que i2 = -1, y que es válida la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma y de la resta. Ejemplo: Sean z1= 3+2i y z2=2-4i. Para hacer z1: z2 , multiplicamos z1 y z2 por el conjugado del divisor (z2) aplicando la propiedad distributiva:

Representación gráfica Los números complejos se representan en el plano mediante un sistema de ejes de coordenadas cartesianas, donde el eje horizontal será el eje real y el vertical el eje imaginario. El número quedará representado por un par ordenado (a ; b) o bien mediante un vector que une el origen con el punto (a ; b). Ejemplo: Eje real Eje imaginario 4 2 Z = 4 + 2i

Módulo y Argumento El módulo de un número complejo 𝑍=𝑎+𝑏𝑖 es la longitud del vector posición. El módulo se designa entre barras y se calcula con el Teorema de Pitágoras: 𝑍=𝑎+𝑏𝑖→ 𝑍 = 𝑎 2 + 𝑏 2 El Argumento 𝜶 de un número complejo 𝑍=𝑎+𝑏𝑖 , es el ángulo que forma el semieje positivo de X con el vector posición de Z. Se calcula la expresión: 𝑍=𝑎+𝑏𝑖→𝛼=𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑏 𝑎

Módulo y Argumento Ejemplo Calcula el Módulo y el argumento de 𝑍=𝑎+𝑏𝑖 𝑍=4−3𝑖→ 𝑍 = 4 2 + −3 2 = 16+9 = 25 =5 𝑍=4−3𝑖→𝛼=𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 − 3 4 =−36° 52 ′ 11′′

Módulo y Argumento

Forma de representar un número complejo Forma binómica Z= a + bi Forma Vectorial Z = (a, b) Forma Polar Z = |Z| 𝛼 Forma Trigonométrica 𝑍= 𝑍 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼+𝑖𝑠𝑒𝑛𝛼

Forma binómica y vectorial Ejemplos Forma binómica Z= 2 + 3i Forma Vectorial Z= (2, 3) Nota: Forma vectorial o también se lo llama forma cartesiana

Forma polar y trigonométrica Forma polar 𝑍= 4 45° es un número cuyo módulo vale 4 y su argumento es 45° Forma trigonométrica Z= 4 (cos45° + i . sen45°) es un número cuyo módulo vale 4 y su argumento es 45° Nota: o sea que cuando quiero pasar un número complejo de la forma cartesiana o binómica a la forma polar o a la trigonométrica primero deberán calcular el Módulo y el Argumento.

Algunas aplicaciones de los números complejos Los números complejos se usan en ingeniería electrónica y en otros campos para una descripción adecuada de las señales periódicas variables Ingenieros eléctricos y físicos usan la letra j para la unidad imaginaria en vez de i que está típicamente destinada a la intensidad de corriente. Los fractales son diseños artísticos de infinita complejidad. En su versión original, se los define a través de cálculos con números complejos en el plano.