Física para Ciencias: Ecuaciones de Movimiento Dictado por: Profesor Aldo Valcarce 2do semestre 2014 FIS109A – 2: Física 2do semestre 2014 FIS190C-2: Física para Ciencias.

Resumen clase 4 ∆𝑥= 𝑥 𝑓 − 𝑥 𝑖 Se definieron los conceptos de: Posición Distancia Desplazamiento Trayectoria Distancia recorrida 𝒙(𝒕) Ubicación de un objeto dependiendo del sistema de referencia usado y su respectivo origen. 𝒅 Diferencia entre dos posiciones. Siempre es positiva. ∆𝒙 Diferencia entre la posición final y la posición inicial. Puede ser positiva o negativa indicando la dirección con respecto al origen, o sea, es un vector. ∆𝑥= 𝑥 𝑓 − 𝑥 𝑖 Unión de los puntos del espacio por donde pasa un móvil puntual. Puede ser rectilínea (sin cambio de dirección) o curvilínea (en 2 o 3 dimensiones). Suma de las distancias individuales de cada trayectoria rectilínea de un trayecto total. FIS109A – 2: Física 2do semestre 2014

Resumen clase 4 Cinemática: Movimiento en 1 dimensión: Posición con respecto al tiempo. Velocidad promedio ( 𝒗 ) e instantánea ( 𝒗 𝒙 ). Rapidez: escalar (no tiene signo). Aceleración promedio ( 𝑎 ) e instantánea ( 𝑎 𝑥 ). 𝒗 = 𝚫𝒙 𝚫𝒕 = 𝑥 𝑓 − 𝑥 𝑖 𝑡 𝑓 − 𝑡 𝑖 𝒂 = 𝚫𝒗 𝚫𝒕 = 𝑣 𝑓 − 𝑣 𝑖 𝑡 𝑓 − 𝑡 𝑖 FIS109A – 2: Física 2do semestre 2014 FIS190C-2: Física para Ciencias.

Gráficos: Interpretación Matemática Pendiente Posición vs Tiempo Área Superficie formada en un Δt con respecto al eje de las abscisas (+ o -). Línea tangente a la curva en un punto (+ o –). El área bajo la curva 𝒗 𝒕 𝒗𝒔 𝒕 indica la variación de 𝒙(𝒕). La pendiente de la curva 𝒙 𝒕 𝒗𝒔 𝒕 indica el valor de 𝒗(𝒕). Velocidad vs Tiempo La pendiente de la curva 𝒗 𝒕 𝒗𝒔 𝒕 indica el valor de 𝒂(𝒕). El área bajo la curva 𝒂 𝒕 𝒗𝒔 𝒕 indica la variación de 𝒗(𝒕). Aceleración vs Tiempo FIS109A – 2: Física 2do semestre 2014

Pendiente 𝒗 = 𝚫𝒙 𝚫𝒕 = 𝑥 𝑓 − 𝑥 𝑖 𝑡 𝑓 − 𝑡 𝑖 ∆𝒙(𝒕) ∆𝒕 Está definida como la diferencia en el eje Y dividido por la diferencia en el eje X para dos puntos distintos en una recta. Pendiente ∆𝒕 ∆𝒙(𝒕) Pendiente Pendiente 𝒗 = 𝚫𝒙 𝚫𝒕 = 𝑥 𝑓 − 𝑥 𝑖 𝑡 𝑓 − 𝑡 𝑖 FIS109A – 2: Física 2do semestre 2014 FIS190C-2: Física para Ciencias.

Pendiente 𝒗(𝒕) 𝒂 = 𝚫𝒗 𝚫𝒕 = 𝑣 𝑓 − 𝑣 𝑖 𝑡 𝑓 − 𝑡 𝑖 Está definida como la diferencia en el eje Y dividido por la diferencia en el eje X para dos puntos distintos en una recta. Pendiente 𝒗(𝒕) Pendiente ∆𝑥(𝑡) ∆𝑣(𝑡) Pendiente ∆𝑡 𝒂 = 𝚫𝒗 𝚫𝒕 = 𝑣 𝑓 − 𝑣 𝑖 𝑡 𝑓 − 𝑡 𝑖 𝒗 = 𝚫𝒙 𝚫𝒕 = 𝑥 𝑓 − 𝑥 𝑖 𝑡 𝑓 − 𝑡 𝑖 FIS109A – 2: Física 2do semestre 2014

Área: 𝑣 𝑐𝑡𝑒 𝑣𝑠 𝑡 𝒗 𝒊 𝑣 𝑖 𝒗(𝒕) Área de un cuadrado: A = largo × ancho Á𝑟𝑒𝑎 1 = 𝑣 𝑖 ×∆𝑡 =∆𝒙 ∆𝑡 Se puede interpretar usando la ecuación de velocidad promedio: 𝑣 →𝑣 𝑖 𝑣 𝑖 𝑣 𝑖 : vel. inicial 𝒗 = 𝚫𝒙 𝚫𝒕 = 𝑥 𝑓 − 𝑥 𝑖 𝑡 𝑓 − 𝑡 𝑖 𝒗 𝒊 𝒕 FIS109A – 2: Física 2do semestre 2014

Área: 𝑣 𝑐𝑡𝑒 𝑣𝑠 𝑡 𝒂 𝒗 𝒊 𝒂 𝑎 𝑣 𝑖 𝒂 𝒗(𝒕) 𝒂(𝒕) Área de un cuadrado: A = largo × ancho Á𝑟𝑒𝑎 1 = 𝑣 𝑖 ×∆𝑡 𝑎 =∆𝒙 =∆𝒗 𝒂 ∆𝑡 Se puede interpretar usando la ecuación de velocidad promedio: 𝑣 →𝑣 𝑖 𝑣 𝑖 𝑎: acel. cte 𝑣 𝑖 : vel. inicial aceleración 𝑎 →𝑎 𝒗 = 𝚫𝒙 𝚫𝒕 = 𝑥 𝑓 − 𝑥 𝑖 𝑡 𝑓 − 𝑡 𝑖 𝒂 = 𝚫𝒗 𝚫𝒕 = 𝑣 𝑓 − 𝑣 𝑖 𝑡 𝑓 − 𝑡 𝑖 𝒗 𝒊 𝒂 𝒕 FIS109A – 2: Física 2do semestre 2014 FIS190C-2: Física para Ciencias.

Área: 𝑣 𝑣𝑠 𝑡 con 𝒂 constante ≠0 Área de un cuadrado: A = largo × ancho 𝒗(𝒕) 𝑣 𝑓 : vel. final 𝑣 𝑓 Á𝑟𝑒𝑎 1 = 𝑣 𝑖 ×∆𝑡 Área de un triángulo: A = base × altura / 2 Á𝑟𝑒𝑎 2 = 1 2 𝑣 𝑓 − 𝑣 𝑖 ×∆𝑡 𝑣 𝑖 𝑣 𝑖 : vel. inicial Entonces la variación de la posición ∆𝑥 es: Á𝑟𝑒𝑎 1+Á𝑟𝑒𝑎 2 ∆𝑥 = 𝑣 𝑖 ×∆𝑡+ 1 2 𝑣 𝑓 − 𝑣 𝑖 ×∆𝑡 𝒕 ∆𝒕 𝑥 𝑓 − 𝑥 𝑖 = 1 2 𝑣 𝑖 + 𝑣 𝑓 ×∆𝑡 FIS109A – 2: Física 2do semestre 2014

Ecuaciones de Movimiento 𝑥 𝑓 − 𝑥 𝑖 = 1 2 𝑣 𝑖 + 𝑣 𝑓 ×𝑡 Asumiendo 𝑡 𝑖 =0→ ∆𝑡= 𝑡 𝑓 = 𝑡 FIS109A – 2: Física 2do semestre 2014

2da ecuación con 𝑎 cte Usando la ecuación de aceleración promedio Se asume 𝑎 =𝑎 y 𝑡 𝑖 =0→ ∆𝑡= 𝑡 𝑓 = 𝑡, o sea: 𝒂 = 𝚫𝒗 𝚫𝒕 = 𝑣 𝑓 − 𝑣 𝑖 𝑡 𝑓 − 𝑡 𝑖 𝒂= 𝑣 𝑓 − 𝑣 𝑖 𝑡 Entonces: 𝑣 𝑓 = 𝑣 𝑖 +𝑎 ×𝑡 FIS109A – 2: Física 2do semestre 2014

Ecuaciones de Movimiento 𝑥 𝑓 − 𝑥 𝑖 = 1 2 𝑣 𝑖 + 𝑣 𝑓 ×𝑡 Asumiendo 𝑡 𝑖 =0→ ∆𝑡= 𝑡 𝑓 = 𝑡 𝑣 𝑓 = 𝑣 𝑖 +𝑎×𝑡 FIS109A – 2: Física 2do semestre 2014

3ra ecuación con 𝑎 cte 𝑥 𝑓 − 𝑥 𝑖 = 1 2 𝑣 𝑖 + 𝑣 𝑓 ×𝑡 𝑣 𝑓 = 𝑣 𝑖 +𝑎×𝑡 𝑥 𝑓 − 𝑥 𝑖 = 1 2 𝑣 𝑖 + 𝑣 𝑓 ×𝑡 𝑣 𝑓 = 𝑣 𝑖 +𝑎×𝑡 𝑥 𝑓 − 𝑥 𝑖 = 1 2 𝑣 𝑖 + 𝑣 𝑖 +𝑎×𝑡 ×𝑡 𝑥 𝑓 − 𝑥 𝑖 = 𝑣 𝑖 ×𝑡+ 1 2 𝑎× 𝑡 2 FIS109A – 2: Física 2do semestre 2014

Ecuaciones de Movimiento 𝑥 𝑓 − 𝑥 𝑖 = 1 2 𝑣 𝑖 + 𝑣 𝑓 ×𝑡 Asumiendo 𝑡 𝑖 =0→ ∆𝑡= 𝑡 𝑓 = 𝑡 𝑣 𝑓 = 𝑣 𝑖 +𝑎 ×𝑡 𝑥 𝑓 − 𝑥 𝑖 = 𝑣 𝑖 ×𝑡+ 1 2 𝑎× 𝑡 2 FIS109A – 2: Física 2do semestre 2014

4ta ecuación con 𝑎 cte 𝑥 𝑓 − 𝑥 𝑖 = 1 2 𝑣 𝑓 + 𝑣 𝑖 ×𝑡 𝑣 𝑓 = 𝑣 𝑖 +𝑎×𝑡 𝑥 𝑓 − 𝑥 𝑖 = 1 2 𝑣 𝑓 + 𝑣 𝑖 ×𝑡 𝑣 𝑓 = 𝑣 𝑖 +𝑎×𝑡 𝑡= 𝑣 𝑓 − 𝑣 𝑖 𝑎 𝑥 𝑓 − 𝑥 𝑖 = 1 2 𝑣 𝑓 + 𝑣 𝑖 × 𝑣 𝑓 − 𝑣 𝑖 𝑎 2𝑎 𝑥 𝑓 − 𝑥 𝑖 = 𝑣 𝑓 2 −𝑣 𝑖 2 𝑣 𝑓 2 = 𝑣 𝑖 2 +2𝑎 𝑥 𝑓 − 𝑥 𝑖 FIS109A – 2: Física 2do semestre 2014

Ecuaciones de Movimiento 𝑥 𝑓 − 𝑥 𝑖 = 1 2 𝑣 𝑖 + 𝑣 𝑓 ×𝑡 Asumiendo 𝑡 𝑖 =0→ ∆𝑡= 𝑡 𝑓 = 𝑡 𝑣 𝑓 = 𝑣 𝑖 +𝑎 ×𝑡 𝑥 𝑓 − 𝑥 𝑖 = 𝑣 𝑖 ×𝑡+ 1 2 𝑎× 𝑡 2 𝑣 𝑓 2 = 𝑣 𝑖 2 +2𝑎 𝑥 𝑓 − 𝑥 𝑖 FIS109A – 2: Física 2do semestre 2014

Ecuaciones de Movimiento con 𝑎=0 𝑥 𝑓 − 𝑥 𝑖 = 1 2 𝑣 𝑖 + 𝑣 𝑓 ×𝑡 𝑥 𝑓 − 𝑥 𝑖 = 𝑣 𝑖 ×𝑡 𝑣 𝑓 = 𝑣 𝑖 +𝑎 ×𝑡 𝑣 𝑓 = 𝑣 𝑖 𝑥 𝑓 − 𝑥 𝑖 = 𝑣 𝑖 ×𝑡+ 1 2 𝑎× 𝑡 2 𝑥 𝑓 − 𝑥 𝑖 = 𝑣 𝑖 ×𝑡 𝑣 𝑓 2 = 𝑣 𝑖 2 +2𝑎 𝑥 𝑓 − 𝑥 𝑖 𝑣 𝑓 = 𝑣 𝑖 FIS109A – 2: Física 2do semestre 2014 FIS190C-2: Física para Ciencias.

Ejemplo 1: Si el metro se traslada desde la estación Baquedano a la estación San Joaquín en 20 min a) Calcule la velocidad promedio si las estaciones se encuentran a 8 km de distancia. b) Si un ciclista se desplaza en promedio 2 m/s ¿cuánto se demora en recorrer esa misma distancia? FIS109A – 2: Física 2do semestre 2014

Ejemplo 2: Un avión aterriza sobre un portaviones a 63 m/s. a) ¿Cuál es su aceleración si se detiene en 2,0 s? b) ¿Cuánta distancia recorre el avión mientras se está deteniendo? c) Realice los gráficos: 𝑥 𝑣𝑠 𝑡, 𝑣 𝑣𝑠 𝑡, 𝑎 𝑣𝑠 𝑡 FIS109A – 2: Física 2do semestre 2014

Ejemplo 3: Un atleta corre desde el reposo en una línea recta. En los primeros 10s, su aceleración es 1,0 m/s² y en los próximos 6s, desacelera a 1.5 m/s²: a) ¿Cuál es su velocidad después de los primeros 10s? b) ¿Cuál es su velocidad después de 16s? c) ¿Cuál es su velocidad promedio? d) Realice los gráficos: 𝑥 𝑣𝑠 𝑡, 𝑣 𝑣𝑠 𝑡, 𝑎 𝑣𝑠 𝑡 FIS109A – 2: Física 2do semestre 2014

Ejemplo 4: Un auto viaja a una rapidez constante de 45 m/s y pasa por un anuncio detrás del cual se oculta una patrulla de policía. Un segundo después de que pasa el auto la patrulla parte del anuncio para atraparlo, acelerando a 3 m/s2. a) ¿Cuánto demora la patrulla en alcanzar al auto? b) Realice los gráficos: 𝑥 𝑣𝑠 𝑡, 𝑣 𝑣𝑠 𝑡, 𝑎 𝑣𝑠 𝑡 FIS109A – 2: Física 2do semestre 2014

Resumen 𝑥 𝑓 − 𝑥 𝑖 = 𝑣 𝑖 ×𝑡 𝑥 𝑓 − 𝑥 𝑖 = 𝑣 𝑖 ×𝑡+ 1 2 𝑎× 𝑡 2 Interpretación matemática de los gráficos: Pendiente: 𝑥 𝑣𝑠 𝑡→𝑣 y 𝑣 𝑣𝑠 𝑡 →𝑎 Área: 𝑣 𝑣𝑠 𝑡 →∆𝑥 y 𝑎 𝑣𝑠 𝑡 → ∆𝑣 Ecuación de movimiento sin aceleración: Ecuaciones de movimiento con aceleración constante: 𝑥 𝑓 − 𝑥 𝑖 = 𝑣 𝑖 ×𝑡 𝑥 𝑓 − 𝑥 𝑖 = 1 2 𝑣 𝑖 + 𝑣 𝑓 ×𝑡 𝑥 𝑓 − 𝑥 𝑖 = 𝑣 𝑖 ×𝑡+ 1 2 𝑎× 𝑡 2 𝑣 𝑓 = 𝑣 𝑖 +𝑎 ×𝑡 𝑣 𝑓 2 = 𝑣 𝑖 2 +2𝑎 𝑥 𝑓 − 𝑥 𝑖 FIS109A – 2: Física 2do semestre 2014