MAXIMOS Y MINIMOS Cálculo Diferencial Fuan Evangelista Tutor Diana Patricia Álvarez Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD - CEAD MEDELLIN Noviembre de 2008

DEFINICIÓN Entre los valores que puede tener una función (Y) puede haber uno que sea el mas grande y otro que sea el mas pequeño. A estos valores se les llama respectivamente punto máximo y punto mínimo absolutos. Si una función continua es ascendente en un intervalo y a partir de un punto cualquiera empieza a decrecer, a ese punto se le conoce como punto critico máximo relativo, aunque comúnmente se le llama solo máximo. En la figura, se puede observar un ejemplo de una función que tiene un valor máximo relativo en c. Dicho valor es d  y ocurre en  c. El valor máximo relativo de f en (a,b) es d.

Una función puede tener uno, ninguno o varios puntos críticos. Por el contrario, si una funcion continua es decreciente en cierto intervalo hasta un punto en el cual empieza a ascender, a este punto lo llamamos puntro critico minimo relativo, o simplemente minimo. En la figura, se puede observar un ejemplo de una función que tiene un valor mínimo relativo en c. Dicho valor es d  y ocurre en  c. El valor máximo relativo de f en (a,b) es d. Una función puede tener uno, ninguno o varios puntos críticos. Curva sin máximos ni mínimos, función sin máximos ni mínimos.

Función con un máximo, curva con un máximo y un mínimo. Curva con un mínimo, curva con varios mínimos y máximos Acá se muestra la gráfica de una función en donde el valor mínimo absoluto ocurre en a, el valor máximo absoluto ocurre en b. En e la función tiene un valor máximo relativo, y en d un valor mínimo relativo.   Y en esta figura, se puede observar que la función tiene un valor máximo absoluto en c (también es un valor máximo relativo), pero no tiene un valor mínimo absoluto.

Si  f  es diferenciable, los únicos posibles valores de x para los cuales  f  tiene un extremo relativo son aquellos en los que f ' (x) = 0. No obstante, ocurre con muchas funciones que a pesar de que  f ' (x) = 0, no hay  un extremo relativo allí. También puede suceder que alguna función  f tenga un extremo relativo en un número dado y sin embargo no ser diferenciable en dicho número. Esta figura ilustra este hecho. Por último, para ciertas funciones f (c) existe y  f '(c) no existe y sin embargo no hay un extremo relativo en c. En esta figura se muestra la gráfica de una función donde ocurre esta situación.

La pendiente de la recta tangente a una curva (derivada) en los puntos críticos máximos y mínimos relativos es cero, ya que se trata de una recta horizontal. TEOREMA Si f(x)x (a,b), y si f tiene un valor extremo relativo en c, donde a<c<b, entonces si f ’(c) existe, f ’(c)=0 El teorema anterior establece que la recta tangente a la gráfica de la  f  en el punto en donde ocurre un extremo relativo es paralela al eje x, por lo tanto su pendiente es 0.

METODOS PARA CALCULAR MAXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCION Para conocer las coordenadas de los puntos críticos máximos y mínimos relativos en una función, analizaremos dos mecanismos: Criterio de la primera derivada Este método es utilizado para una función continua y su primera derivada también continua. Obtener la primera derivada. Igualar la primera derivada a cero y resolver la ecuación. El valor o valores obtenidos para la variable, son donde pudiera haber máximos o mínimos en la función.

Se asignan valores próximos (menores y mayores respectivamente) a la variable independiente y se sustituyen en la derivada. Se observan los resultados; cuando estos pasan de positivos a negativos, se trata de un punto máximo; si pasa de negativo a positivo el punto crítico es mínimo. Cuando existen dos o más resultados para la variable independiente, debe tener la precaución de utilizar valores cercanos a cada uno y a la vez distante de los demás, a fin de evitar errores al interpretar los resultados. sustituir en la función original (Y) el o los valores de la variable independiente (X) para los cuales hubo cambio de signo. Cada una de las parejas de datos así obtenidas, corresponde a las coordenadas de un punto crítico.

Criterio de la segunda derivada Este método es más utilizado que el anterior, aunque no siempre es más sencillo. Se basa en que en un máximo relativo, la concavidad de una curva es hacia abajo y en consecuencia, su derivada será negativa; mientras que en un punto mínimo relativo, la concavidad es hacia arriba y la segunda derivada es positiva. Este procedimiento consiste en: Calcular la primera y segunda derivadas Igualar la primera derivada a cero y resolver la ecuación. Sustituir las raíces (el valor o valores de X) de la primera derivada en la segunda derivada.

Si el resultado es positivo, hay mínimo Si el resultado es positivo, hay mínimo. Si la segunda derivada resulta negativa, hay un máximo. Si el resultado fuera cero, no se puede afirmar si hay o no un máximo o mínimo. Y por último, Sustituir los valores de las raíces de la primera derivada en la función original, para conocer las coordenadas de los puntos máximo y mínimo.

EJEMPLO f(x)=4-3x; (-1,2] f es una función polinomial, por lo tanto es continua en đ, y en particular continua en (-1,2]. La gráfica de la función corta el eje y en 4 y al eje x en 4/3 f ’ siempre existe y nunca es 0; por lo tanto, no hay números críticos. f(x)=4-3x → f ’=-3 f(2)=4 – 3(2)= – 2 De la gráfica de f podemos constatar que: f(2)= – 2: Valor mínimo absoluto No hay un valor máximo absoluto, el intervalo es semiabierto por la izquierda