Nociones Básicas de Análisis Estadístico de Muestras Apéndice 1 Ing. Rafael A. Díaz Chacón U.C.V. RAD/99

Distribuciones Probabilísticas Continuas Discretas Uniforme Normal Exponencial Triangular Lognormal Gamma Beta Bernoulli Binomial Geométrica Poisson Uniforme Discreta Binomial Negativa Hipergeométrica RAD/99

Generación de números aleatorios La generación de números aleatorios en el computador es una de las bases de la simulación. A pesar de la naturaleza estocástica se utilizan métodos basados en ecuaciones recursivas. Esto hace que, en realidad, lo apropiado sea decir que se generan números pseudoaleatorios. El comportamiento estadístico de una secuencia de números pseudoaleatorios debe ser similar al de una secuencia de números aleatorios. RAD/99

Generación de números aleatorios Los números generados deben seguir una distribución uniforme en (0,1) y ser independientes desde el punto de vista estadístico. La rutina debe ser de ejecución rápida. La rutina debe ocupar poco espacio en memoria. El ciclo de la secuencia debe ser muy grande. La secuencia debe ser reproducible. RAD/99

Generación de números aleatorios Método del cuadrado intermedio. Método del producto intermedio. Método del multiplicador constante. Método congruencial aditivo. Método congruencial lineal. RAD/99

Método congruencial lineal X i+1 = (AX i + C) mod m para i=0,1,2,…. Generación de números aleatorios Método congruencial lineal X i+1 = (AX i + C) mod m para i=0,1,2,…. RAD/99

Pruebas estadísticas ... Para verificar la distribución uniforme de la muestra. Para verificar la simetría de los datos alrededor del valor esperado de la uniforme. Para verificar la autocorrelación de las muestras. Para verificar la densidad de la muestra. Para verificar la independencia de los dígitos de cada dato de la muestra. RAD/99

Generación de variables aleatorias Método de la Transformación Inversa. Método de la Transformación Directa. Método de Convolución. Método de aceptación y rechazo. RAD/99

Transformación Inversa “Sea X una variable aleatoria con función de distribución acumulativa de probabilidades FX(x) y sea Y una función de X tal que, Y = F(x). Entonces la variable aleatoria Y tiene una distribución uniforme en el intervalo (0,1).” “Si Y tiene distribución uniforme en (0,1), entonces X = F-1(Y) tiene una distribución dada por fX(x) = d/dx FX(x)” RAD/99

Transformación Inversa Ejemplo: Generar una variable aleatoria Exponencial RAD/99

Transformación Directa “Sea X una variable aleatoria con función de distribución acumulativa de probabilidades FX(x) y sea Y una función de X tal que, Y =G(x). Entonces, si se puede conocer una muestra de la variable aleatoria X, la muestra de Y será igual a G(x).” RAD/99

Ejemplo: Generar una variable aleatoria Normal Transformación Directa Ejemplo: Generar una variable aleatoria Normal X Y Z2 = B sen b Z1 = B cos b b B RAD/99

Transformación Directa Esta transformación se conoce como Transformación de Box-Muller “Si Z1, Z2, B y b están relacionadas por la transformación de Box-Muller y Z1 y Z2 son normales estándar e independientes entonces B2 es exponencial con media 2 y b es uniforme en (0,2p) y además, son independientes” RAD/99

Transformación Directa “Ya que la transformación es biyectiva, si a partir de un par de números aleatorios R1 y R2 se obtienen B2 y b con distribuciones exponencial con media 2 y uniforme en (0,2p), respectivamente, entonces Z1 y Z2 son normales estándar e independientes” RAD/99

Método de Convolución “La función de densidad de probabilidades de la suma de dos o más variables aleatorias independientes es igual a la convolución de las funciones de densidad de probabilidades de cada una de ellas” “La variable Erlang con parámetros K y m es la suma de K variables aleatorias exponenciales independientes con media común 1/mK” RAD/99

“Sean K números aleatorios R1, R2, R3,…entonces Xi= (-1/mK) ln Ri Método de Convolución “Sean K números aleatorios R1, R2, R3,…entonces Xi= (-1/mK) ln Ri es una muestra de una variable exponencial con media 1/mK, por lo tanto...” X es una muestra de una Erlang con parámetros K y m RAD/99

Evaluar condiciones a comparar Método de aceptación y rechazo “Este método se basa en alguna propiedad característica de la variable aleatoria de interés que puede expresarse en forma iterativa hasta que se cumpla la propiedad en cuestión” Evaluar condiciones a comparar Generar una muestra Comparar condiciones CUMPLE NO CUMPLE RAD/99

Ejemplo: Generar una variable aleatoria Poisson Método de aceptación y rechazo Ejemplo: Generar una variable aleatoria Poisson Generar una muestra R Hacer i=0,p=e-m,F=p Hacer p=mp/(i+1) F=F+p i=i+1 NO R < F SI X = i RAD/99

Modelos Aleatorios en AweSim Ejemplo: Generación de una v. a. Exponencial y análisis estadístico de muestras GEN,"RAFAEL DIAZ","ANALISIS ESTADISTICO",30/10/99,1,YES,YES; LIMITS,2; INITIALIZE,0.0,1,YES; INTLC,{{XX[1],2}}; NET; FIN; RAD/99

Ejemplo: Muestras de una v. a. Exponencial Modelos Aleatorios en AweSim Ejemplo: Muestras de una v. a. Exponencial ** OBSERVED STATISTICS REPORT for scenario MUESTRAS ** Label Mean Standard Number of Minimum Maximum Value Deviation Observations Value Value V. A. EXPONENCIAL 2.013 1.952 1000 0.001 23.481 RAD/99

Modelos Aleatorios en AweSim Ejemplo: Generación de una v. a. Normal y análisis estadístico de muestras GEN,"RAFAEL DIAZ","ANALISIS ESTADISTICO NORMAL", 30/10/99,1,YES,YES; LIMITS,3; INITIALIZE,0.0,1,YES; INTLC,{{XX[1],0},{XX[2],1}}; NET; FIN; RAD/99

Ejemplo: Muestras de una v. a. Normal Modelos Aleatorios en AweSim Ejemplo: Muestras de una v. a. Normal ** OBSERVED STATISTICS REPORT for scenario NORMAL ** Label Mean Standard Number of Minimum Maximum Value Deviation Observations Value Value V. A. NORMAL -0.006 1.015 2000 -3.601 3.440 RAD/99

Modelos Aleatorios en AweSim Ejemplo: Análisis estadístico de muestras apoyándose en el ambiente EXCEL RAD/99

Tarjeta de datos del nodo WRITE Modelos Aleatorios en AweSim Tarjeta de datos del nodo WRITE RAD/99

Contenido del archivo de escritura RESP3.DAT Modelos Aleatorios en AweSim Contenido del archivo de escritura RESP3.DAT 1 0.000 0.000 0.062 2 1.195 0.000 0.678 3 3.156 0.000 0.899 4 3.306 0.749 0.877 5 4.446 0.000 0.382 6 6.054 0.000 0.314 7 7.367 0.000 1.425 8 7.719 1.073 1.631 9 7.901 1.449 2.930 10 12.376 0.000 0.452 11 14.078 0.000 1.344 12 17.680 0.000 0.279 13 17.800 0.159 0.806 14 18.245 0.362 0.784 …… ……. …….. ……... RAD/99

Modelos Aleatorios en AweSim RAD/99

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Diagrama de Dispersión en ambiente EXCEL Modelos Aleatorios en AweSim Diagrama de Dispersión en ambiente EXCEL RAD/99