TEMA 4: LÍMITES Y CONTINUIDAD Definición de Límite. Definición Informal y definición formal Límites Laterales Límites Infinitos Límites que no existen Límites en el infinito Propiedades Continuidad en un punto y en un conjunto Continuidad lateral Continuidad a trozos Teoremas relevantes

f(x) b Límites f(x) x a x Definición : Sea f : DR  R y sea “a” un punto de acumulación de D. Se dice que b es el límite de la función f(x) cuando x tiende a “a”, y se escribe si para todo >0 existe un >0 tal que para todo xD que sea distinto de "a" ( xa ) y que cumpla que x-a<, entonces se cumple que f(x) - b <  . La definición formaliza la idea intuitiva de que f(x) puede hacerse tan próximo a “b” (f(x) - b < ) como se desee sin más que elegir valores del dominio D para x suficientemente próximos a “a” (x - a < ) , sin llegar a ser “a”; Ó también que, para todos los puntos x de D aproximadamente igual a “a”, se cumple que f(x) es aproximadamente igual a “b” , siendo además ésta última aproximación mejor cuanto mejor sea la primera.

Definición : Sea f: D R  R y sea "a" un punto de acumulación de D Definición : Sea f: D R  R y sea "a" un punto de acumulación de D. Se dice que el límite de la función f(x), cuando x tiende a "a" , es + y se escribe , si para todo h existe un >0 tal que para todo xD que sea distinto de "a" ( xa ) y que cumpla que x - a <  , entonces se cumple que f(x) > h. La definición formaliza la idea intuitiva de que cuando x tiende a "a" ( a medida que nos acercamos a "a" ) la función toma valores cada vez más grandes . Definición : Sea f: D  R  R y sea "a" un punto de acumulación de D. Se dice que el límite de la función f(x) , cuando x tiende a "a" , es -  y se escribe si para todo h R existe un  > 0 tal que para todo xD que sea distinto de "a" ( xa ) y que cumpla que x - a <  , entonces se cumple que f(x) < h.

Definición : Sea f: D R  R Definición : Sea f: D R  R . Se dice que el límite de la función f(x) cuando x tiende a + es "b" y se escribe si para todo  > 0 existe un k   tal que para todo x  D , que sea mayor que k ( x > k ), entonces se cumple que |f(x) - b <  .  Los valores de f(x) se acercan al valor "b" tanto como se quiera sin más que tomar valores de la variable x tan grandes como se necesite. Definición : Sea f: D R  R . Se dice que el límite de la función f(x), cuando x tiende a + , es + y se escribe si para todo h  R , existe un kR tal que para todo x  D, que sea mayor que k ( x > k ), entonces se cumple que f(x)>h. El valor de la función tiende a hacerse tan grande como se quiera cuando la variable toma valores cada vez más grandes también.

Definición : Sea f: D  R  R Definición : Sea f: D  R  R . Se dice que el límite de la función f(x) , cuando x tiende a + , es - y se escribe si para todo h   existe un k R tal que para todo xD , que sea mayor que k (x>k) , entonces se cumple que f(x) < h.   El valor de la función tiende a hacerse tan pequeño como se quiera, cuando la variable toma valores cada vez más grandes.

Para las tres definiciones de límite que daremos a continuación se supone que el dominio de la función f es un conjunto de números reales no acotado inferiormente ( la variable x puede hacerse tan pequeña como se quiera).   Definición : Sea f: D R  R . Se dice que el límite de la función f(x) cuando x tiende a -, es bR y se escribe si para todo >0 existe un kR tal que para todo xD , que sea menor que k (x<k), entonces se cumple que  f(x) -b< .   En este caso cuando la variable toma valores muy pequeños la función se aproxima cada vez más a b .

Definición : Sea f: D R  R Definición : Sea f: D R  R . Se dice que el límite de la función f(x) cuando x tiende a - , es + y se escribe si para todo h existe un k R tal que para todo xD , que sea menor que k (x<k), entonces se cumple que f(x)>h.   La función tiende a hacerse tan grande como se quiera, sin más que hacer que la variable tome valores muy pequeños.   Definición : Sea f: D  R  R. Se dice que el límite de la función f(x) cuando x tiende a - , es - y se escribe , si para todo h existe un k R tal que para todo xD , que sea menor que k (x<k) , entonces se cumple que f(x)<h.   Aquí la función tiende a hacerse tan pequeña como se quiera sin más que tomar valores para la variable cada vez más pequeños.

Definición : Límite por la izquierda Dada la función f: D  R  R, el límite por la izquierda de la función f(x) cuando x tiende a "a" , es b (ó + ó - según el caso) si se cumple la definición respectiva, de entre las tres definiciones de límite dadas anteriormente, cuando la variable x pertenece sólo al subconjunto D  ] - , a [ del dominio de la función. Se escribe entonces: ( ó + ó - ) .   Definición : Límite por la derecha Dada la función f: D  R  R, el límite por la derecha de la función f(x) cuando x tiende a "a" , es b (ó + ó - según el caso) si se cumple la definición respectiva, de entre las tres definiciones de límite dadas anteriormente, cuando la variable x pertenece sólo al subconjunto D  ] a , + [ del dominio de la función. Se escribe entonces: (ó + ó -) . b f(x) x a f(x) b a x

Propiedades de los límites    1. El límite de una función, si existe, es único.    2. Si las funciones f(x) y g(x) definidas en D R tienen el mismo límite cuando la variable x tiende a “a”, + ó - y se cumple que f(x)  h(x)  g(x) para todo xD excepto a lo sumo en “a” , si es el caso, entonces h(x) tiene el mismo límite que f(x) y g(x) cuando x tiende a “a” , + ó -.  3. El producto de una función con límite cero por otra función acotada tiene también límite cero. 4. Dada la función f(x) = x , x R y si a R se cumple 5. Dada la función f(x) = c , x R, cR y si a R se cumple:

Álgebra de límites Si entonces excepto si b = + y b’ = - ó viceversa. (Indeterminación tipo + -) 2. Si , entonces 3. Si y c c0 entonces si c=0 entonces 4. Si entonces excepto si b = 0 y b’ = + ó -, ó viceversa. (Indeterminación tipo 0·) 

excepto si b = b’= 0 (Indeterminación tipo 0/0) ó 5. Si entonces excepto si b = b’= 0 (Indeterminación tipo 0/0) ó si b=  y b’=  (Indeterminación tipo /). 6. Si (y f(x) tiende a cero por la derecha si b = 0) y entonces excepto si b = 1 y b’ =  (Indeterminación tipo 1) ó si b = 0 y b’ = 0 (Indeterminación tipo 00) ó si b = + y b’ = 0 (Indeterminación tipo 0) .

Continuidad Sea f: D  R  R, a  . Se dice que f es continua en a si se verifica que: a  D 2.  3. Se verifica que Si alguna de las tres condiciones anteriores no se verifica decimos que f es discontinua en a. Dada f: D  R  R se dice es f es continua en D si f es contínua en cada punto de D. Continuidad a trozos Dada una función f: D  R  R, se dice que f es una función continua a trozos en D si f es contínua en todo D excepto, en todo caso, un número finito de puntos de D

Propiedades de las funciones continuas Si f y g son funciones continuas en a, entonces : 1. f + g, f- g son funciones continuas en a. 2. f.g es continua en a 3. f/g es continua en a, siempre que g(a)0 4. [f(x)]p/q es contínua en a si [f(a)]p/q está definido 5. Si g es contínua en a y f es continua en g(a), entonces f(g(x)) es contínua en x=a. 6. Toda función que se construya a partir de funciones continuas por medio de las operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división (excepto por cero, naturalmente) y composición será continua en todos los puntos donde esté definida.

Continuidad Lateral Sea f : [a,c)  R Se dice que f es continua por la derecha en a si Sea f : (d,a]  R Se dice que f es continua por la izquierda en a si Si f es continua por la izquierda y por la derecha en a y los dos límites coinciden, entonces f es contínua en a y se verifica que

Teoremas sobre continuidad Teorema de los valores intermedios: Sea f es una función continua en el intervalo cerrado [a,b], tal que f(a)f(b). Entonces f(x) toma todos los valores comprendidos entre f(a) y f(b) cuando x varía entre a y b. Teorema de Bolzano Sea f una función continua en [a,b] tal que f(a) y f(b) tienen signos distintos. Entonces existe al menos un c (a,b) tal que f(c) = 0 Teorema de los valores óptimos (Weierstrass): Si una función f es contínua en un intervalo [a,b] cerrado y acotado, entonces f alcanza un máximo y un mínimo dentro del intervalo.