Control Digital/Avanzado Respuesta en Frecuencia M. en C. Luis Adrián Lizama Pérez

La entrada al sistema es senoidal Es útil como entrada de prueba y fuente de información para auxiliar en el análisis y diseño de sistemas

La respuesta en frecuencia se define como la respuesta en estado estable de un sistema a una entrada senoidal La respuesta en estado estable es la que permanece después de que han desaparecido los transitorios Existen varias técnicas para analizar la respuesta en frecuencia: Diagramas de Bode y de Nyquist

Si a un sistema lineal se aplica una entrada senoidal, la salida es también una senoidal y de la misma frecuencia La salida puede diferir de la entrada en amplitud y fase El cociente de la amplitud de la salida entre la amplitud de la entrada se conoce como magnitud El corrimiento de fase de la senoidal de salida en relación con la entrada se denomina fase La variación de la magnitud y la fase se denomina respuesta en frecuencia del sistema

La función G(j), la cual se obtiene cuando s se reemplaza por j se denomina función de respuesta en frecuencia |G(j)| es la magnitud de la función de transferencia G(s) Al separar s en G(s) por j permite separar las partes real e imaginaria e identificar la magnitud y fase

Ejemplo: G(s)=1/(s+2), si se hace s=j entonces G(j)= 1 / (j + 2) G(j)= 2 / (2 + 4) – j / (2 + 4) La magnitud es: |G(j)| = 1 / ( 2 + 4) Y la fase: tan  = - /2

Ejemplo: ¿Cuáles son la magnitud y la fase de salida en estado estable de un sistema con entrada i= 2sen(3t + 60°), si se tiene una F.T. G(s)=4/s+1? G(j)= 4 / (j + 1) al cambiar s=j G(j)= 4 / (2 + 1) – j4 / (2 + 1) La magnitud es: |G(j)| = 4 / ( 2 + 1) Y la fase: tan  = -

Para una entrada específica =3 rad/s |G(j)| = 4 / ( 32 + 1)=1.3 y  = tan-1(-3)= -72° La salida es o= 2(1.3)sen(3t + 60°-72°) o= 2.6sen(3t - 12°)

Ej: Para un sistema que tiene una F. T Ej: Para un sistema que tiene una F.T. G(s)=3/s+2 determinar la magnitud y fase de la respuesta en frecuencia

Gráficas de Bode Consiste de dos gráficas: una de la magnitud contra la frecuencia y otra de la fase graficada contra la frecuencia La magnitud y la frecuencia se grafican usando escalas logarítmicas Es común expresar la magnitud en unidades de decibeles (dB): Magnitud en dB= 20 log |G(j)| p.e. si |G(j)|=2 entonces la magnitud es 6dB

Ej: Ganancia constante. G(s)=K, G(j)=K |G(j)|=20 log K y la fase es cero 0.1 1 10 100  rad/s 20 log10 K Magnitud en dB 0.1 1 10 100  rad/s Fase 90° -90°

Ej: Un polo en el origen. G(s)=1/s, G(j)=-j/ |G(j)|=20log(1/)=-20log() y la fase es tan  = (-1/)/0=-, =-90° 0.1 1 10 100  rad/s Magnitud en dB 20 -20 0.1 1 10 100  rad/s Fase 90° -90°

Ej: Un cero en el origen. G(s)=s, G(j)=j |G(j)|=20log() y la fase es tan  = (/0) = +, =90° 0.1 1 10 100  rad/s Magnitud en dB 20 -20 0.1 1 10 100  rad/s Fase 90° -90°

Diagramas de Nyquist Para especificar el comportamiento de un sistema a una entrada senoidal en una frecuencia angular particular , se deben establecer tanto la magnitud |G(j)| como la fase  El diagrama de Nyquist es una gráfica polar de la respuesta en frecuencia del sistema

Al trazar digramas de Nyquist existen cuatro puntos clave que se deben representar: El inicio de la traza, donde =0 El fin de la traza, donde = Donde la traza cruza al eje real, =0° ó 180° Y donde cruza al eje imaginario =90°

Ej: Para un sistema de primer orden, donde G(s)=1/(1+s) aquí  es la constante de tiempo G(j)=1/(1+j)= (1- j)/(1 + 22) La magnitud es la raíz cuadrada de la parte real al cuadrado más la parte imaginaria al cuadrado |G(j)|=1/1+ 22 La fase , es el cociente de la parte imaginaria entre la parte real = -tan-1()

Cuando =0 tenemos |G(j)|=1 y =0°, éste es el punto en el que la traza cruza el eje real Cuando  tiende a  |G(j)| tiende a 0 y  a -90°, éste es el punto en el que la traza cruza el eje imaginario

|G(j)|=1/1+ 22 = -tan-1() Incremento de  =0 = 1 0.5

G(s) = 1/ (1s + 1) Imaginario Real = =0 Incremento de  Imaginario Imaginario Real 1/1 Imaginario

G(s) = 1/ (1s + 1)(2s + 1) Incremento de  Real =0 = Imaginario Imaginario Real 1/1 Imaginario 1/2

G(s) = 1/ (1s + 1)(2s + 1)(3s + 1) Incremento de  Real =0 = Imaginario Imaginario Real 1/3 1/2 1/1

G(s) = 1/ s(1s + 1) Real = Imaginario =0 Real 1/1 Imaginario

G(s) = 1/ s(1s + 1)(2s + 1) Real =0 = Imaginario Real Imaginario

G(s) = (s + 1)/ s(1s + 1)(2s + 1) Real =0 = Imaginario Real Imaginario

Criterio de Estabilidad Para que la inestabilidad se presente cuando la entrada al sistema es senoidal, la magnitud en lazo abierto debe ser mayor que 1 si el atraso de fase en lazo abierto es 180° Si el sistema causa un cambio de fase de 180°, la señal de realimentación estará en fase con la señal de entrada y se adicionará en vez de sumarse

Si la amplitud es menor que la de la señal de entrada, se puede alcanzar una condición estable, pero si la amplitud es mayor, la señal crecerá de manera continua

=180° Real Estable -1 Imaginario Inestable

Margen de ganancia: se define como el factor mediante el cual la ganancia del sistema, es decir, la magnitud, se puede incrementar antes de que se presente la inestabilidad Es la cantidad mediante la cual la magnitud en 180° debe incrementarse para alcanzar el valor crítico de 1

1= Margen de ganancia x |G(j)|=180° Real -1 Imaginario 1= Margen de ganancia x |G(j)|=180° Margen de ganancia = 20log(1)- 20log |G(j)|=180° Margen de ganancia = -20log |G(j)|=180°

Si la traza jamás cruza la parte negativa del eje real, el margen de ganancia es infinito Si pasa a través del eje en un valor menor que 1, el margen es positivo Si pasa a través del eje en 1, el margen es cero y si pasa a través del eje en un valor mayor que 1, es decir, la traza encierra el punto -1, el margen es negativo

Margen de fase: se define como el ángulo a través del cual la traza de Nyquist debe girar para que el punto de magnitud unitaria pase a través del punto -1 en el eje real Es la cantidad mediante la cual la fase del sistema en lazo abierto cae cerca de 180° cuando su magnitud tiene un valor de 1, es decir, la amplitud de la salida es la misma que la de la entrada

|G(j)|=1 Real -1 Imaginario Margen de fase

Margen de ganancia Margen de fase 0.1 1 10 100  rad/s Magnitud en dB 20 -20 Fase 90° -90° -180° Margen de ganancia Margen de fase

Tarea Determinar el valor de K para un sistema con la siguiente función de transferencia en lazo abierto: Go(s)= K / s(2s+1)(s+1) el cual dará a) un sistema marginalmente estable, y b) un margen de ganancia de 3dB |Go(j)|=K / 94 + 2(1-22)2 = tan-1 [ (1-22)/3 ]

Para que el sistema sea marginalmente estable la magnitud debe tener el valor de 1, cuando =180°. Para =180°, =tan-1(0) R: K=1.5 Para que el sistema tenga un margen de ganancia de 3dB Margen de ganancia=-20log|G(j)|=180° R: K=1.06

¿Cuál es el margen de fase para un sistema que tiene la siguiente función de transferencia en lazo abierto? Go(s)= 9 / s(s+3) La magnitud es |Go(j)|=9 /  4 + 92 La fase es = tan-1 (3/) R: =2.36 rad/s =51.8°

Para las trazas de Bode de la figura estimar el margen de ganancia y el margen de fase si G(s): 100 / (s3 + 9s2 + 30s + 40) 0.1 1 10  rad/s Magnitud en dB 20 -20 Fase -90° -180°

Enlaces Enlace del proyecto final: http://www.engin.umich.edu/group/ctm/ Calendario de presentaciones: 4 de Mayo: Ball and Beam Bus Suspension Cruise Control 9 de Mayo: Inverted Pendullum Motor Position 11 de Mayo: Motor Speed Pitch Controller 16 de Mayo: Examen 3er Parcial