DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD Estadística Capítulo 4.7 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

Distribución Normal

Distribución Normal Es la distribución de probabilidad más importante, que corresponde a una variable continua. También se la llama distribución gaussiana. En esta distribución no es posible calcular la probabilidad de un valor exacto, siempre se trabaja con rangos.

Distribución Normal En la práctica, muchas variables que se observan tienen distribuciones que sólo se aproximan a la normal. Esto es, las variables tienen propiedades que sólo se acercan a las propiedades teóricas de la distribución normal.

Propiedades de la distribución normal Tiene forma de campana (es simétrica) Sus medidas de tendencia central son idénticas (media, mediana, moda, rango medio y eje medio

Propiedades de la distribución normal El “intervalo medio” es 1.33 desviaciones estándar (1.33σ) La variable aleatoria asociada tiene un intervalo infinito ( -∞ < X < +∞)

Distribución Normal La fórmula de la distribución normal es un complicado modelo matemático desarrollado por Gauss; pero con facilidad para realizar la estandarización mediante una tabla definida que facilita la búsqueda de resultados.

Fórmula Distribución Normal e = constante matemática con valor aproximado de 2.71828 π = constante matemática con valor aproximado de 3.14159 µ = media de la población σ = desviación estándar de la población

Distribución Normal Si los datos son estandarizados, de manera que se aproximen a su valor normal en la distribución, se puede utilizar una tabla para encontrar los resultados de las probabilidades. Para ello se utiliza la fórmula de estandarización, que es denotada por Z

Fórmula de la Estandarización Los elementos base para estandarizar los datos son los parámetros de la Media Aritmética y la Desviación Estándar. Al estandarizar los datos de la población, la media se convierte en 0 y la desviación estándar en 1

Ejemplo Supongamos que los datos de una muestra van de 30 a 90 (en el plano cartesiano se traza la recta en una escala de 10 en 10). En la muestra, la media aritmética es 60 y la desviación estándar es 10. Estandarizar cada uno de los datos de la recta del plano cartesiano; es decir, cuál es el valor de Z de cada dato desde 30 hasta 90.

Ejemplo

Ejemplo

Área en la curva normal Las probabilidades en una curva normal es el área que está rodeada por: El valor entre 0 y Z El eje horizontal La curva de la Normal (ver zona sombreada).

Área en la curva normal Para calcular el área en una curva normal, no se utiliza la fórmula, sino el diseño una tabla para buscar el resultado. Usualmente los valores de Z están entre -4 y 4, y su representación se denota por un número de dos decimales.

Distribución Normal al 50% Es una tabla trazada en filas y columnas que calcula el valor entre 0 y z

Área en la curva normal La tabla de la distribución normal de nuestro curso solamente tiene el 50% del total de área, porque como la figura es igual antes del 0 que después del 0, las áreas solamente se homologan; lo mismo resulta al calcular un área con Z=1.25 que con Z= -1.25. El procedimiento es el siguiente:

Área en la curva normal Se configura el valor de Z de manera que tenga 2 decimales

Área en la curva normal Se divide en dos números; el primero formado por la parte entera y el primer decimal; el segundo formado por el segundo decimal

Área en la curva normal En la primer columna se busca el que tiene la parte entera

Área en la curva normal En la fila de encabezado se busca el que tiene el segundo decimal.

Área en la curva normal En la fila de encabezado se busca el que tiene el segundo decimal.

Ejemplo 4.27 Encontrar el área para Z=1.02 Z se convierte en 1.0 y 0.02 Localizar 1.0 en la tabla

Ejemplo 4.27 Encontrar el área para Z=1.02 Localizar 0.02 en la tabla Ubicar la intersección En la tabla de la curva normal se muestra la probabilidad 0.3461 La probabilidad es de 34.61%

Área en la curva normal En la curva, por tratarse de áreas, no es posible calcular valores con el signo igual; siempre se hace referencia con el signo de menor o con el mayor.

Área en la curva normal Enunciado : Calcular P(zi < Z) Acción : Encuentra el área entre 0 y Z

Ejemplo 4.28 Calcular P(Z < 1.11) Se va a calcular el área de 0 a 1.11 El # 1.11 se convierte en : 1.1 y 0.01 Buscar en la columna 1.1 Buscar en la fila 0.01

Ejemplo 4.29 Calcular P(Z < 2.01) Se calculará el área de 0 a 2.01 El # 2.01 se convierte en 2.00 y 0.01 Columna: 2.0 Fila: 0.01

Ejemplo Calcular P(Z > - 1.28) Se calculará el área de -1.28 a 0 1.28 = 1.2 + 0.08 Buscar en la columna 1.2 Buscar en la fila 0.08

Ejemplo Calcular P(Z > 1.28) Primero el área de 0 a 1.28 1.28 = 1.2 + 0.08 El área encontrada se resta de 0.50 El área es 0.1003

Ejemplo Calcular P(Z < -2.23) Calcular área de -2.23 a 0 2.23 = 2.2 + 0.03 El área es 0.0129

Ejemplo Calcular P(-0.57 < Z < 1.02) El área total es la suma de ambos resultados. Área = 0.2157+0.3461 Área = 0.5618

Ejemplo Calcular P(1.00 < Z < 1.253) Calcular el área que va de 0 a 1.25 = 0.3944 Calcular el área que va de 0 a 1.00 = 0.3413 ÁREA =0.3944 – 0.3413 = 0.0531

Ejemplo Calcular P(-1.25 < Z < -1.00) Calcular el área que va de 0 a 1.25 = 0.3944 Calcular el área que va de 0 a 1.00 = 0.3413 Se restan ambas áreas de 0.5 Se suman los resultado ÁREA izquierda = 0.5-0.3944 = 0.1056 AREA derecha = 0.5-0.3413 = 0.1587 ÁREA Total = 0.2643

Distribución normal estándar Un conjunto de datos con distribución normal siempre se puede convertir en su forma estandarizada y después determinar cualquier probabilidad deseada, a partir de la tabla de distribución normal.

Ejemplo El gerente de una ensambladora de automóviles estudia el proceso para montar una pieza específica de un automóvil, con el fin de reducir el tiempo requerido para el montaje. Después de estudiar el proceso, el equipo determina que el tiempo de montaje se aproxima a una distribución normal con media aritmética (µ) de 75 segundos y desviación estándar (σ) de 6 segundos. Como puede el equipo aprovechar esta información para responder preguntas acerca del proceso actual.

Ejemplo Calcular la probabilidad de que un empleado elegido al azar requiera más de 81 segundos para ensamblar la pieza µ = 75 σ = 6

Ejemplo La probabilidad de que un empleado ensamble una pieza en mas de 81 segundos es de 15.87%

Ejemplo Calcular la probabilidad de que un empleado elegido al azar realice la tarea en un tiempo entre 75 y 81 segundos µ = 75 σ = 6

Ejemplo La probabilidad de que un empleado ensamble una pieza Entre 75 y 81 segundos es de 34.13%

Ejemplo Calcular la probabilidad de que un empleado elegido al azar realice la tarea en mas de 81 segundos o menos de 75 segundos µ = 75 σ = 6

P(X > 81) = P(Z>1) = 0.5 – 0.3413 = 0.1587 Ejemplo 1.) Calcular la P(X > 81) P(X > 81) = P(Z>1) = 0.5 – 0.3413 = 0.1587

Ejemplo 2.) Calcular la P(X < 75) P(X <75) = P(Z<0) = 0.5000

Ejemplo 3.) Sumas ambas probabilidades La probabilidad de que un empleado tarde menos de 75 ó más de 81 segundos es de 66%

Tarea Entregar un resumen de los aspectos éticos que se deben observar en el uso de las probabilidades. ¿Qué se hace para realizar una verificación de la normalidad? Cuales son los pasos que se siguen paa construir un diagrama de probabilidad normal

Fin del capítulo 6.1 Continúa 7.1